Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14029 / 4042
↖ ↑ ↗
← N 79.282228°
W 25.872802°		 ← 227.18 m → N 79.282228°
W 25.861817°		 →
↑
227.25 m
↓
↑
227.25 m
↓
N 79.280184°
W 25.872802°		 ← 227.22 m →
51 632 m²		 N 79.280184°
W 25.861817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428146362304688 y=0.123367309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428146362304688 × 215)
    floor (0.428146362304688 × 32768)
    floor (14029.5)     		tx = 14029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123367309570312 × 215)
    floor (0.123367309570312 × 32768)
    floor (4042.5)     		ty = 4042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14029 / 4042 ti = "15/14029/4042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14029/4042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14029 ÷ 215
    14029 ÷ 32768     		x = 0.428131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4042 ÷ 215
    4042 ÷ 32768     		y = 0.12335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428131103515625 × 2 - 1) × π
    -0.14373779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45156559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12335205078125 × 2 - 1) × π
    0.7532958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36654886044293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45156559} λ = -0.45156559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36654886044293))-π/2
    2×atan(10.6605377221395)-π/2
    2×1.47726611684923-π/2
    2.95453223369846-1.57079632675     		φ = 1.38373591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45156559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.872802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38373591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.282228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14029 KachelY 4042 -0.45156559 1.38373591 -25.872802 79.282228
    Oben rechts KachelX + 1 14030 KachelY 4042 -0.45137385 1.38373591 -25.861817 79.282228
    Unten links KachelX 14029 KachelY + 1 4043 -0.45156559 1.38370024 -25.872802 79.280184
    Unten rechts KachelX + 1 14030 KachelY + 1 4043 -0.45137385 1.38370024 -25.861817 79.280184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38373591-1.38370024) × R
    3.56699999999321e-05 × 6371000     		dl = 227.253569999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38373591-1.38370024) × R
    3.56699999999321e-05 × 6371000     		dr = 227.253569999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45156559--0.45137385) × cos(1.38373591) × R
    0.000191739999999996 × 0.185971399998607 × 6371000     		do = 227.178113377849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45156559--0.45137385) × cos(1.38370024) × R
    0.000191739999999996 × 0.186006447622772 × 6371000     		du = 227.220926698265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38373591)-sin(1.38370024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185971399998607-0.186006447622772)×R²
    abs(-0.45137385--0.45156559)×3.50476241657294e-05×R²
    0.000191739999999996×3.50476241657294e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.50476241657294e-05×40589641000000     		ar = 51631.9020368982m²