Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14028 / 4044
↖ ↑ ↗
← N 79.278140°
W 25.883789°		 ← 227.28 m → N 79.278140°
W 25.872802°		 →
↑
227.25 m
↓
↑
227.25 m
↓
N 79.276096°
W 25.883789°		 ← 227.32 m →
51 654 m²		 N 79.276096°
W 25.872802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428115844726562 y=0.123428344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428115844726562 × 215)
    floor (0.428115844726562 × 32768)
    floor (14028.5)     		tx = 14028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123428344726562 × 215)
    floor (0.123428344726562 × 32768)
    floor (4044.5)     		ty = 4044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14028 / 4044 ti = "15/14028/4044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14028/4044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14028 ÷ 215
    14028 ÷ 32768     		x = 0.4281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4044 ÷ 215
    4044 ÷ 32768     		y = 0.1234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45175734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1234130859375 × 2 - 1) × π
    0.753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36616536524597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45175734} λ = -0.45175734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36616536524597))-π/2
    2×atan(10.6564502409408)-π/2
    2×1.47723045056014-π/2
    2.95446090112028-1.57079632675     		φ = 1.38366457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45175734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38366457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.278140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14028 KachelY 4044 -0.45175734 1.38366457 -25.883789 79.278140
    Oben rechts KachelX + 1 14029 KachelY 4044 -0.45156559 1.38366457 -25.872802 79.278140
    Unten links KachelX 14028 KachelY + 1 4045 -0.45175734 1.38362890 -25.883789 79.276096
    Unten rechts KachelX + 1 14029 KachelY + 1 4045 -0.45156559 1.38362890 -25.872802 79.276096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38366457-1.38362890) × R
    3.56700000001542e-05 × 6371000     		dl = 227.253570000982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38366457-1.38362890) × R
    3.56700000001542e-05 × 6371000     		dr = 227.253570000982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45175734--0.45156559) × cos(1.38366457) × R
    0.000191749999999991 × 0.186041495010273 × 6371000     		do = 227.275592433218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45175734--0.45156559) × cos(1.38362890) × R
    0.000191749999999991 × 0.186076542161064 × 6371000     		du = 227.318407408225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38366457)-sin(1.38362890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186041495010273-0.186076542161064)×R²
    abs(-0.45156559--0.45175734)×3.50471507911954e-05×R²
    0.000191749999999991×3.50471507911954e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.50471507911954e-05×40589641000000     		ar = 51654.0546875729m²