Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14027 / 4043
↖ ↑ ↗
← N 79.280184°
W 25.894775°		 ← 227.23 m → N 79.280184°
W 25.883789°		 →
↑
227.25 m
↓
↑
227.25 m
↓
N 79.278140°
W 25.894775°		 ← 227.28 m →
51 644 m²		 N 79.278140°
W 25.883789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428085327148438 y=0.123397827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428085327148438 × 215)
    floor (0.428085327148438 × 32768)
    floor (14027.5)     		tx = 14027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123397827148438 × 215)
    floor (0.123397827148438 × 32768)
    floor (4043.5)     		ty = 4043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14027 / 4043 ti = "15/14027/4043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14027/4043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14027 ÷ 215
    14027 ÷ 32768     		x = 0.428070068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4043 ÷ 215
    4043 ÷ 32768     		y = 0.123382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428070068359375 × 2 - 1) × π
    -0.14385986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45194909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123382568359375 × 2 - 1) × π
    0.75323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36635711284445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45194909} λ = -0.45194909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36635711284445))-π/2
    2×atan(10.658493785599)-π/2
    2×1.47724828538458-π/2
    2.95449657076916-1.57079632675     		φ = 1.38370024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45194909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.894775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38370024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.280184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14027 KachelY 4043 -0.45194909 1.38370024 -25.894775 79.280184
    Oben rechts KachelX + 1 14028 KachelY 4043 -0.45175734 1.38370024 -25.883789 79.280184
    Unten links KachelX 14027 KachelY + 1 4044 -0.45194909 1.38366457 -25.894775 79.278140
    Unten rechts KachelX + 1 14028 KachelY + 1 4044 -0.45175734 1.38366457 -25.883789 79.278140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38370024-1.38366457) × R
    3.56699999999321e-05 × 6371000     		dl = 227.253569999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38370024-1.38366457) × R
    3.56699999999321e-05 × 6371000     		dr = 227.253569999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45194909--0.45175734) × cos(1.38370024) × R
    0.000191749999999991 × 0.186006447622772 × 6371000     		do = 227.232777169037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45194909--0.45175734) × cos(1.38366457) × R
    0.000191749999999991 × 0.186041495010273 × 6371000     		du = 227.275592433218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38370024)-sin(1.38366457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186006447622772-0.186041495010273)×R²
    abs(-0.45175734--0.45194909)×3.50473875006529e-05×R²
    0.000191749999999991×3.50473875006529e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.50473875006529e-05×40589641000000     		ar = 51644.324798676m²