Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14027 / 11085
↖ ↑ ↗
← N 50.198001°
W 25.894775°		 ← 782.02 m → N 50.198001°
W 25.883789°		 →
↑
782.10 m
↓
↑
782.10 m
↓
N 50.190968°
W 25.894775°		 ← 782.13 m →
611 663 m²		 N 50.190968°
W 25.883789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428085327148438 y=0.338302612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428085327148438 × 215)
    floor (0.428085327148438 × 32768)
    floor (14027.5)     		tx = 14027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338302612304688 × 215)
    floor (0.338302612304688 × 32768)
    floor (11085.5)     		ty = 11085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14027 / 11085 ti = "15/14027/11085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14027/11085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14027 ÷ 215
    14027 ÷ 32768     		x = 0.428070068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11085 ÷ 215
    11085 ÷ 32768     		y = 0.338287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428070068359375 × 2 - 1) × π
    -0.14385986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45194909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338287353515625 × 2 - 1) × π
    0.32342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01607052434671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45194909} λ = -0.45194909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01607052434671))-π/2
    2×atan(2.76231894478506)-π/2
    2×1.22345836136319-π/2
    2.44691672272637-1.57079632675     		φ = 0.87612040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45194909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.894775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87612040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.198001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14027 KachelY 11085 -0.45194909 0.87612040 -25.894775 50.198001
    Oben rechts KachelX + 1 14028 KachelY 11085 -0.45175734 0.87612040 -25.883789 50.198001
    Unten links KachelX 14027 KachelY + 1 11086 -0.45194909 0.87599764 -25.894775 50.190968
    Unten rechts KachelX + 1 14028 KachelY + 1 11086 -0.45175734 0.87599764 -25.883789 50.190968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87612040-0.87599764) × R
    0.00012276 × 6371000     		dl = 782.103959999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87612040-0.87599764) × R
    0.00012276 × 6371000     		dr = 782.103959999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45194909--0.45175734) × cos(0.87612040) × R
    0.000191749999999991 × 0.640136500282931 × 6371000     		do = 782.015874103226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45194909--0.45175734) × cos(0.87599764) × R
    0.000191749999999991 × 0.64023080720334 × 6371000     		du = 782.131083138744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87612040)-sin(0.87599764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640136500282931-0.64023080720334)×R²
    abs(-0.45175734--0.45194909)×9.43069204084601e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43069204084601e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43069204084601e-05×40589641000000     		ar = 611662.765407895m²