Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14026 / 10933
↖ ↑ ↗
← N 51.255040°
W 25.905762°		 ← 764.57 m → N 51.255040°
W 25.894775°		 →
↑
764.65 m
↓
↑
764.65 m
↓
N 51.248163°
W 25.905762°		 ← 764.68 m →
584 669 m²		 N 51.248163°
W 25.894775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428054809570312 y=0.333663940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428054809570312 × 215)
    floor (0.428054809570312 × 32768)
    floor (14026.5)     		tx = 14026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333663940429688 × 215)
    floor (0.333663940429688 × 32768)
    floor (10933.5)     		ty = 10933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14026 / 10933 ti = "15/14026/10933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14026/10933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14026 ÷ 215
    14026 ÷ 32768     		x = 0.42803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10933 ÷ 215
    10933 ÷ 32768     		y = 0.333648681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.1439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45214084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333648681640625 × 2 - 1) × π
    0.33270263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0452161593157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45214084} λ = -0.45214084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0452161593157))-π/2
    2×atan(2.84401321716439)-π/2
    2×1.2326827623219-π/2
    2.4653655246438-1.57079632675     		φ = 0.89456920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45214084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.905762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89456920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.255040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14026 KachelY 10933 -0.45214084 0.89456920 -25.905762 51.255040
    Oben rechts KachelX + 1 14027 KachelY 10933 -0.45194909 0.89456920 -25.894775 51.255040
    Unten links KachelX 14026 KachelY + 1 10934 -0.45214084 0.89444918 -25.905762 51.248163
    Unten rechts KachelX + 1 14027 KachelY + 1 10934 -0.45194909 0.89444918 -25.894775 51.248163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89456920-0.89444918) × R
    0.000120019999999998 × 6371000     		dl = 764.64741999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89456920-0.89444918) × R
    0.000120019999999998 × 6371000     		dr = 764.64741999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45214084--0.45194909) × cos(0.89456920) × R
    0.000191749999999991 × 0.625854872408275 × 6371000     		do = 764.568876937654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45214084--0.45194909) × cos(0.89444918) × R
    0.000191749999999991 × 0.625948476243417 × 6371000     		du = 764.683227056613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89456920)-sin(0.89444918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625854872408275-0.625948476243417)×R²
    abs(-0.45194909--0.45214084)×9.36038351415647e-05×R²
    0.000191749999999991×9.36038351415647e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.36038351415647e-05×40589641000000     		ar = 584669.338625728m²