Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14023 / 11117
↖ ↑ ↗
← N 49.972423°
W 25.938721°		 ← 785.70 m → N 49.972423°
W 25.927734°		 →
↑
785.80 m
↓
↑
785.80 m
↓
N 49.965356°
W 25.938721°		 ← 785.82 m →
617 452 m²		 N 49.965356°
W 25.927734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427963256835938 y=0.339279174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427963256835938 × 215)
    floor (0.427963256835938 × 32768)
    floor (14023.5)     		tx = 14023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339279174804688 × 215)
    floor (0.339279174804688 × 32768)
    floor (11117.5)     		ty = 11117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14023 / 11117 ti = "15/14023/11117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14023/11117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14023 ÷ 215
    14023 ÷ 32768     		x = 0.427947998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11117 ÷ 215
    11117 ÷ 32768     		y = 0.339263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.14410400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45271608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339263916015625 × 2 - 1) × π
    0.32147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00993460119534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45271608} λ = -0.45271608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00993460119534))-π/2
    2×atan(2.74542146186381)-π/2
    2×1.22148981602749-π/2
    2.44297963205498-1.57079632675     		φ = 0.87218331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45271608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.938721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87218331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.972423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14023 KachelY 11117 -0.45271608 0.87218331 -25.938721 49.972423
    Oben rechts KachelX + 1 14024 KachelY 11117 -0.45252433 0.87218331 -25.927734 49.972423
    Unten links KachelX 14023 KachelY + 1 11118 -0.45271608 0.87205997 -25.938721 49.965356
    Unten rechts KachelX + 1 14024 KachelY + 1 11118 -0.45252433 0.87205997 -25.927734 49.965356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87218331-0.87205997) × R
    0.000123340000000027 × 6371000     		dl = 785.799140000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87218331-0.87205997) × R
    0.000123340000000027 × 6371000     		dr = 785.799140000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45271608--0.45252433) × cos(0.87218331) × R
    0.000191750000000046 × 0.643156244661592 × 6371000     		do = 785.704912361393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45271608--0.45252433) × cos(0.87205997) × R
    0.000191750000000046 × 0.643250685520518 × 6371000     		du = 785.82028502146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87218331)-sin(0.87205997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643156244661592-0.643250685520518)×R²
    abs(-0.45252433--0.45271608)×9.44408589250711e-05×R²
    0.000191750000000046×9.44408589250711e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.44408589250711e-05×40589641000000     		ar = 617451.575079342m²