Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14022 / 4030
↖ ↑ ↗
← N 79.306718°
W 25.949707°		 ← 226.68 m → N 79.306718°
W 25.938721°		 →
↑
226.68 m
↓
↑
226.68 m
↓
N 79.304679°
W 25.949707°		 ← 226.72 m →
51 388 m²		 N 79.304679°
W 25.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427932739257812 y=0.123001098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427932739257812 × 215)
    floor (0.427932739257812 × 32768)
    floor (14022.5)     		tx = 14022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123001098632812 × 215)
    floor (0.123001098632812 × 32768)
    floor (4030.5)     		ty = 4030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14022 / 4030 ti = "15/14022/4030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14022/4030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14022 ÷ 215
    14022 ÷ 32768     		x = 0.42791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4030 ÷ 215
    4030 ÷ 32768     		y = 0.12298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45290783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12298583984375 × 2 - 1) × π
    0.7540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36884983162469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45290783} λ = -0.45290783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36884983162469))-π/2
    2×atan(10.6850955548178)-π/2
    2×1.4774798325836-π/2
    2.95495966516721-1.57079632675     		φ = 1.38416334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45290783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38416334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.306718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14022 KachelY 4030 -0.45290783 1.38416334 -25.949707 79.306718
    Oben rechts KachelX + 1 14023 KachelY 4030 -0.45271608 1.38416334 -25.938721 79.306718
    Unten links KachelX 14022 KachelY + 1 4031 -0.45290783 1.38412776 -25.949707 79.304679
    Unten rechts KachelX + 1 14023 KachelY + 1 4031 -0.45271608 1.38412776 -25.938721 79.304679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38416334-1.38412776) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dl = 226.680180000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38416334-1.38412776) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dr = 226.680180000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45290783--0.45271608) × cos(1.38416334) × R
    0.000191749999999991 × 0.185551409472086 × 6371000     		do = 226.676884703911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45290783--0.45271608) × cos(1.38412776) × R
    0.000191749999999991 × 0.185586371492202 × 6371000     		du = 226.719595679944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38416334)-sin(1.38412776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185551409472086-0.185586371492202)×R²
    abs(-0.45271608--0.45290783)×3.49620201157419e-05×R²
    0.000191749999999991×3.49620201157419e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.49620201157419e-05×40589641000000     		ar = 51387.9978978529m²