Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14021 / 11065
↖ ↑ ↗
← N 50.338449°
W 25.960694°		 ← 779.71 m → N 50.338449°
W 25.949707°		 →
↑
779.75 m
↓
↑
779.75 m
↓
N 50.331436°
W 25.960694°		 ← 779.83 m →
608 023 m²		 N 50.331436°
W 25.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427902221679688 y=0.337692260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427902221679688 × 215)
    floor (0.427902221679688 × 32768)
    floor (14021.5)     		tx = 14021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337692260742188 × 215)
    floor (0.337692260742188 × 32768)
    floor (11065.5)     		ty = 11065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14021 / 11065 ti = "15/14021/11065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14021/11065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14021 ÷ 215
    14021 ÷ 32768     		x = 0.427886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11065 ÷ 215
    11065 ÷ 32768     		y = 0.337677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.14422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45309958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337677001953125 × 2 - 1) × π
    0.32464599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01990547631631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45309958} λ = -0.45309958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01990547631631))-π/2
    2×atan(2.77293264376811)-π/2
    2×1.22468400010288-π/2
    2.44936800020576-1.57079632675     		φ = 0.87857167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45309958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.960694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87857167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.338449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14021 KachelY 11065 -0.45309958 0.87857167 -25.960694 50.338449
    Oben rechts KachelX + 1 14022 KachelY 11065 -0.45290783 0.87857167 -25.949707 50.338449
    Unten links KachelX 14021 KachelY + 1 11066 -0.45309958 0.87844928 -25.960694 50.331436
    Unten rechts KachelX + 1 14022 KachelY + 1 11066 -0.45290783 0.87844928 -25.949707 50.331436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87857167-0.87844928) × R
    0.000122390000000028 × 6371000     		dl = 779.746690000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87857167-0.87844928) × R
    0.000122390000000028 × 6371000     		dr = 779.746690000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45309958--0.45290783) × cos(0.87857167) × R
    0.000191749999999991 × 0.638251363352774 × 6371000     		do = 779.712916837722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45309958--0.45290783) × cos(0.87844928) × R
    0.000191749999999991 × 0.638345577824959 × 6371000     		du = 779.828012934862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87857167)-sin(0.87844928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638251363352774-0.638345577824959)×R²
    abs(-0.45290783--0.45309958)×9.42144721849392e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42144721849392e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42144721849392e-05×40589641000000     		ar = 608023.439714063m²