Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14021 / 11060
↖ ↑ ↗
← N 50.373496°
W 25.960694°		 ← 779.14 m → N 50.373496°
W 25.949707°		 →
↑
779.17 m
↓
↑
779.17 m
↓
N 50.366489°
W 25.960694°		 ← 779.25 m →
607 128 m²		 N 50.366489°
W 25.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427902221679688 y=0.337539672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427902221679688 × 215)
    floor (0.427902221679688 × 32768)
    floor (14021.5)     		tx = 14021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337539672851562 × 215)
    floor (0.337539672851562 × 32768)
    floor (11060.5)     		ty = 11060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14021 / 11060 ti = "15/14021/11060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14021/11060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14021 ÷ 215
    14021 ÷ 32768     		x = 0.427886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11060 ÷ 215
    11060 ÷ 32768     		y = 0.3375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.14422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45309958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3375244140625 × 2 - 1) × π
    0.324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02086421430872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45309958} λ = -0.45309958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02086421430872))-π/2
    2×atan(2.77559243446152)-π/2
    2×1.22498984511753-π/2
    2.44997969023505-1.57079632675     		φ = 0.87918336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45309958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.960694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87918336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.373496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14021 KachelY 11060 -0.45309958 0.87918336 -25.960694 50.373496
    Oben rechts KachelX + 1 14022 KachelY 11060 -0.45290783 0.87918336 -25.949707 50.373496
    Unten links KachelX 14021 KachelY + 1 11061 -0.45309958 0.87906106 -25.960694 50.366489
    Unten rechts KachelX + 1 14022 KachelY + 1 11061 -0.45290783 0.87906106 -25.949707 50.366489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87918336-0.87906106) × R
    0.00012230000000002 × 6371000     		dl = 779.173300000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87918336-0.87906106) × R
    0.00012230000000002 × 6371000     		dr = 779.173300000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45309958--0.45290783) × cos(0.87918336) × R
    0.000191749999999991 × 0.637780347868364 × 6371000     		do = 779.137505834609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45309958--0.45290783) × cos(0.87906106) × R
    0.000191749999999991 × 0.637874540796345 × 6371000     		du = 779.252575612503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87918336)-sin(0.87906106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637780347868364-0.637874540796345)×R²
    abs(-0.45290783--0.45309958)×9.41929279809628e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41929279809628e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41929279809628e-05×40589641000000     		ar = 607127.971981059m²