Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14020 / 11121
↖ ↑ ↗
← N 49.944151°
W 25.971680°		 ← 786.13 m → N 49.944151°
W 25.960694°		 →
↑
786.25 m
↓
↑
786.25 m
↓
N 49.937080°
W 25.971680°		 ← 786.24 m →
618 133 m²		 N 49.937080°
W 25.960694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427871704101562 y=0.339401245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427871704101562 × 215)
    floor (0.427871704101562 × 32768)
    floor (14020.5)     		tx = 14020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339401245117188 × 215)
    floor (0.339401245117188 × 32768)
    floor (11121.5)     		ty = 11121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14020 / 11121 ti = "15/14020/11121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14020/11121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14020 ÷ 215
    14020 ÷ 32768     		x = 0.4278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11121 ÷ 215
    11121 ÷ 32768     		y = 0.339385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339385986328125 × 2 - 1) × π
    0.32122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00916761080142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45329132} λ = -0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00916761080142))-π/2
    2×atan(2.74331655729928)-π/2
    2×1.22124309626182-π/2
    2.44248619252363-1.57079632675     		φ = 0.87168987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87168987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.944151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14020 KachelY 11121 -0.45329132 0.87168987 -25.971680 49.944151
    Oben rechts KachelX + 1 14021 KachelY 11121 -0.45309958 0.87168987 -25.960694 49.944151
    Unten links KachelX 14020 KachelY + 1 11122 -0.45329132 0.87156646 -25.971680 49.937080
    Unten rechts KachelX + 1 14021 KachelY + 1 11122 -0.45309958 0.87156646 -25.960694 49.937080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87168987-0.87156646) × R
    0.000123409999999935 × 6371000     		dl = 786.245109999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87168987-0.87156646) × R
    0.000123409999999935 × 6371000     		dr = 786.245109999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45329132--0.45309958) × cos(0.87168987) × R
    0.000191739999999996 × 0.643534010611257 × 6371000     		do = 786.125406520795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45329132--0.45309958) × cos(0.87156646) × R
    0.000191739999999996 × 0.64362846588642 × 6371000     		du = 786.240790774558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87168987)-sin(0.87156646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643534010611257-0.64362846588642)×R²
    abs(-0.45309958--0.45329132)×9.44552751622751e-05×R²
    0.000191739999999996×9.44552751622751e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.44552751622751e-05×40589641000000     		ar = 618132.617660688m²