Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14019 / 3382
↖ ↑ ↗
← N 80.550126°
W 25.982666°		 ← 200.57 m → N 80.550126°
W 25.971680°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
N 80.548322°
W 25.982666°		 ← 200.61 m →
40 231 m²		 N 80.548322°
W 25.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427841186523438 y=0.103225708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427841186523438 × 215)
    floor (0.427841186523438 × 32768)
    floor (14019.5)     		tx = 14019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103225708007812 × 215)
    floor (0.103225708007812 × 32768)
    floor (3382.5)     		ty = 3382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14019 / 3382 ti = "15/14019/3382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14019/3382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14019 ÷ 215
    14019 ÷ 32768     		x = 0.427825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3382 ÷ 215
    3382 ÷ 32768     		y = 0.10321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.14434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45348307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10321044921875 × 2 - 1) × π
    0.7935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49310227543988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45348307} λ = -0.45348307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49310227543988))-π/2
    2×atan(12.0987516207332)-π/2
    2×1.48833061970431-π/2
    2.97666123940861-1.57079632675     		φ = 1.40586491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45348307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40586491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.550126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14019 KachelY 3382 -0.45348307 1.40586491 -25.982666 80.550126
    Oben rechts KachelX + 1 14020 KachelY 3382 -0.45329132 1.40586491 -25.971680 80.550126
    Unten links KachelX 14019 KachelY + 1 3383 -0.45348307 1.40583343 -25.982666 80.548322
    Unten rechts KachelX + 1 14020 KachelY + 1 3383 -0.45329132 1.40583343 -25.971680 80.548322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40586491-1.40583343) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40586491-1.40583343) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45348307--0.45329132) × cos(1.40586491) × R
    0.000191749999999991 × 0.164184678871858 × 6371000     		do = 200.574447958498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45348307--0.45329132) × cos(1.40583343) × R
    0.000191749999999991 × 0.164215731594874 × 6371000     		du = 200.612383183754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40586491)-sin(1.40583343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164184678871858-0.164215731594874)×R²
    abs(-0.45329132--0.45348307)×3.10527230161783e-05×R²
    0.000191749999999991×3.10527230161783e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.10527230161783e-05×40589641000000     		ar = 40230.8308851726m²