Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14014 / 10905
↖ ↑ ↗
← N 51.447160°
W 26.037598°		 ← 761.37 m → N 51.447160°
W 26.026611°		 →
↑
761.40 m
↓
↑
761.40 m
↓
N 51.440313°
W 26.037598°		 ← 761.48 m →
579 749 m²		 N 51.440313°
W 26.026611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427688598632812 y=0.332809448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427688598632812 × 215)
    floor (0.427688598632812 × 32768)
    floor (14014.5)     		tx = 14014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332809448242188 × 215)
    floor (0.332809448242188 × 32768)
    floor (10905.5)     		ty = 10905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14014 / 10905 ti = "15/14014/10905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14014/10905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14014 ÷ 215
    14014 ÷ 32768     		x = 0.42767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10905 ÷ 215
    10905 ÷ 32768     		y = 0.332794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.1446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45444181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332794189453125 × 2 - 1) × π
    0.33441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05058509207315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45444181} λ = -0.45444181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05058509207315))-π/2
    2×atan(2.85932359630934)-π/2
    2×1.23435933281623-π/2
    2.46871866563245-1.57079632675     		φ = 0.89792234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45444181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.037598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89792234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.447160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14014 KachelY 10905 -0.45444181 0.89792234 -26.037598 51.447160
    Oben rechts KachelX + 1 14015 KachelY 10905 -0.45425006 0.89792234 -26.026611 51.447160
    Unten links KachelX 14014 KachelY + 1 10906 -0.45444181 0.89780283 -26.037598 51.440313
    Unten rechts KachelX + 1 14015 KachelY + 1 10906 -0.45425006 0.89780283 -26.026611 51.440313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89792234-0.89780283) × R
    0.000119509999999989 × 6371000     		dl = 761.398209999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89792234-0.89780283) × R
    0.000119509999999989 × 6371000     		dr = 761.398209999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45444181--0.45425006) × cos(0.89792234) × R
    0.000191749999999991 × 0.623236112444431 × 6371000     		do = 761.369696979493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45444181--0.45425006) × cos(0.89780283) × R
    0.000191749999999991 × 0.623329568844039 × 6371000     		du = 761.483866985418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89792234)-sin(0.89780283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623236112444431-0.623329568844039)×R²
    abs(-0.45425006--0.45444181)×9.34563996083382e-05×R²
    0.000191749999999991×9.34563996083382e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.34563996083382e-05×40589641000000     		ar = 579748.989538139m²