Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14013 / 3375
↖ ↑ ↗
← N 80.562744°
W 26.048584°		 ← 200.31 m → N 80.562744°
W 26.037598°		 →
↑
200.30 m
↓
↑
200.30 m
↓
N 80.560943°
W 26.048584°		 ← 200.35 m →
40 127 m²		 N 80.560943°
W 26.037598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427658081054688 y=0.103012084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427658081054688 × 215)
    floor (0.427658081054688 × 32768)
    floor (14013.5)     		tx = 14013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103012084960938 × 215)
    floor (0.103012084960938 × 32768)
    floor (3375.5)     		ty = 3375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14013 / 3375 ti = "15/14013/3375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14013/3375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14013 ÷ 215
    14013 ÷ 32768     		x = 0.427642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3375 ÷ 215
    3375 ÷ 32768     		y = 0.102996826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.14471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45463356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102996826171875 × 2 - 1) × π
    0.79400634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49444450862924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45463356} λ = -0.45463356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49444450862924))-π/2
    2×atan(12.1150018700807)-π/2
    2×1.48844073385159-π/2
    2.97688146770319-1.57079632675     		φ = 1.40608514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45463356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40608514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.562744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14013 KachelY 3375 -0.45463356 1.40608514 -26.048584 80.562744
    Oben rechts KachelX + 1 14014 KachelY 3375 -0.45444181 1.40608514 -26.037598 80.562744
    Unten links KachelX 14013 KachelY + 1 3376 -0.45463356 1.40605370 -26.048584 80.560943
    Unten rechts KachelX + 1 14014 KachelY + 1 3376 -0.45444181 1.40605370 -26.037598 80.560943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40608514-1.40605370) × R
    3.14400000001047e-05 × 6371000     		dl = 200.304240000667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40608514-1.40605370) × R
    3.14400000001047e-05 × 6371000     		dr = 200.304240000667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45463356--0.45444181) × cos(1.40608514) × R
    0.000191749999999991 × 0.163967433497266 × 6371000     		do = 200.309052482015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45463356--0.45444181) × cos(1.40605370) × R
    0.000191749999999991 × 0.163998447899479 × 6371000     		du = 200.346940893074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40608514)-sin(1.40605370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163967433497266-0.163998447899479)×R²
    abs(-0.45444181--0.45463356)×3.10144022132031e-05×R²
    0.000191749999999991×3.10144022132031e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.10144022132031e-05×40589641000000     		ar = 40126.5471306286m²