Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14013 / 10906
↖ ↑ ↗
← N 51.440313°
W 26.048584°		 ← 761.48 m → N 51.440313°
W 26.037598°		 →
↑
761.59 m
↓
↑
761.59 m
↓
N 51.433464°
W 26.048584°		 ← 761.60 m →
579 981 m²		 N 51.433464°
W 26.037598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427658081054688 y=0.332839965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427658081054688 × 215)
    floor (0.427658081054688 × 32768)
    floor (14013.5)     		tx = 14013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332839965820312 × 215)
    floor (0.332839965820312 × 32768)
    floor (10906.5)     		ty = 10906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14013 / 10906 ti = "15/14013/10906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14013/10906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14013 ÷ 215
    14013 ÷ 32768     		x = 0.427642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10906 ÷ 215
    10906 ÷ 32768     		y = 0.33282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.14471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45463356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33282470703125 × 2 - 1) × π
    0.3343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05039334447467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45463356} λ = -0.45463356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05039334447467))-π/2
    2×atan(2.85877538043769)-π/2
    2×1.23429957632213-π/2
    2.46859915264427-1.57079632675     		φ = 0.89780283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45463356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89780283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.440313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14013 KachelY 10906 -0.45463356 0.89780283 -26.048584 51.440313
    Oben rechts KachelX + 1 14014 KachelY 10906 -0.45444181 0.89780283 -26.037598 51.440313
    Unten links KachelX 14013 KachelY + 1 10907 -0.45463356 0.89768329 -26.048584 51.433464
    Unten rechts KachelX + 1 14014 KachelY + 1 10907 -0.45444181 0.89768329 -26.037598 51.433464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89780283-0.89768329) × R
    0.000119540000000029 × 6371000     		dl = 761.589340000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89780283-0.89768329) × R
    0.000119540000000029 × 6371000     		dr = 761.589340000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45463356--0.45444181) × cos(0.89780283) × R
    0.000191749999999991 × 0.623329568844039 × 6371000     		do = 761.483866985418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45463356--0.45444181) × cos(0.89768329) × R
    0.000191749999999991 × 0.623423039797398 × 6371000     		du = 761.598054770776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89780283)-sin(0.89768329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623329568844039-0.623423039797398)×R²
    abs(-0.45444181--0.45463356)×9.34709533583211e-05×R²
    0.000191749999999991×9.34709533583211e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.34709533583211e-05×40589641000000     		ar = 579981.478468881m²