Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14012 / 7245
↖ ↑ ↗
← N 70.329835°
W 26.059570°		 ← 411.19 m → N 70.329835°
W 26.048584°		 →
↑
411.18 m
↓
↑
411.18 m
↓
N 70.326138°
W 26.059570°		 ← 411.26 m →
169 089 m²		 N 70.326138°
W 26.048584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427627563476562 y=0.221115112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427627563476562 × 215)
    floor (0.427627563476562 × 32768)
    floor (14012.5)     		tx = 14012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221115112304688 × 215)
    floor (0.221115112304688 × 32768)
    floor (7245.5)     		ty = 7245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14012 / 7245 ti = "15/14012/7245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14012/7245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14012 ÷ 215
    14012 ÷ 32768     		x = 0.4276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7245 ÷ 215
    7245 ÷ 32768     		y = 0.221099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45482530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221099853515625 × 2 - 1) × π
    0.55780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75238130251077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45482530} λ = -0.45482530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75238130251077))-π/2
    2×atan(5.76832245479516)-π/2
    2×1.39914176055308-π/2
    2.79828352110616-1.57079632675     		φ = 1.22748719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45482530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22748719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.329835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14012 KachelY 7245 -0.45482530 1.22748719 -26.059570 70.329835
    Oben rechts KachelX + 1 14013 KachelY 7245 -0.45463356 1.22748719 -26.048584 70.329835
    Unten links KachelX 14012 KachelY + 1 7246 -0.45482530 1.22742265 -26.059570 70.326138
    Unten rechts KachelX + 1 14013 KachelY + 1 7246 -0.45463356 1.22742265 -26.048584 70.326138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22748719-1.22742265) × R
    6.45399999998908e-05 × 6371000     		dl = 411.184339999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22748719-1.22742265) × R
    6.45399999998908e-05 × 6371000     		dr = 411.184339999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45482530--0.45463356) × cos(1.22748719) × R
    0.000191739999999996 × 0.336604964694836 × 6371000     		do = 411.188391513766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45482530--0.45463356) × cos(1.22742265) × R
    0.000191739999999996 × 0.336665737823446 × 6371000     		du = 411.262630481166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22748719)-sin(1.22742265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336604964694836-0.336665737823446)×R²
    abs(-0.45463356--0.45482530)×6.07731286104141e-05×R²
    0.000191739999999996×6.07731286104141e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.07731286104141e-05×40589641000000     		ar = 169089.49038884m²