Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14012 / 3380
↖ ↑ ↗
← N 80.553733°
W 26.059570°		 ← 200.49 m → N 80.553733°
W 26.048584°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 80.551930°
W 26.059570°		 ← 200.53 m →
40 201 m²		 N 80.551930°
W 26.048584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427627563476562 y=0.103164672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427627563476562 × 215)
    floor (0.427627563476562 × 32768)
    floor (14012.5)     		tx = 14012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103164672851562 × 215)
    floor (0.103164672851562 × 32768)
    floor (3380.5)     		ty = 3380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14012 / 3380 ti = "15/14012/3380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14012/3380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14012 ÷ 215
    14012 ÷ 32768     		x = 0.4276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3380 ÷ 215
    3380 ÷ 32768     		y = 0.1031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45482530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1031494140625 × 2 - 1) × π
    0.793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49348577063684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45482530} λ = -0.45482530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49348577063684))-π/2
    2×atan(12.1033923236557)-π/2
    2×1.48836209576774-π/2
    2.97672419153548-1.57079632675     		φ = 1.40592786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45482530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40592786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.553733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14012 KachelY 3380 -0.45482530 1.40592786 -26.059570 80.553733
    Oben rechts KachelX + 1 14013 KachelY 3380 -0.45463356 1.40592786 -26.048584 80.553733
    Unten links KachelX 14012 KachelY + 1 3381 -0.45482530 1.40589639 -26.059570 80.551930
    Unten rechts KachelX + 1 14013 KachelY + 1 3381 -0.45463356 1.40589639 -26.048584 80.551930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40592786-1.40589639) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dl = 200.495369999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40592786-1.40589639) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dr = 200.495369999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45482530--0.45463356) × cos(1.40592786) × R
    0.000191739999999996 × 0.16412258280214 × 6371000     		do = 200.488132712715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45482530--0.45463356) × cos(1.40589639) × R
    0.000191739999999996 × 0.164153625986137 × 6371000     		du = 200.526054306969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40592786)-sin(1.40589639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16412258280214-0.164153625986137)×R²
    abs(-0.45463356--0.45482530)×3.10431839966041e-05×R²
    0.000191739999999996×3.10431839966041e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.10431839966041e-05×40589641000000     		ar = 40200.7439041486m²