Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14011 / 3780
↖ ↑ ↗
← N 79.804527°
W 26.070557°		 ← 216.24 m → N 79.804527°
W 26.059570°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
N 79.802582°
W 26.070557°		 ← 216.28 m →
46 776 m²		 N 79.802582°
W 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427597045898438 y=0.115371704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427597045898438 × 215)
    floor (0.427597045898438 × 32768)
    floor (14011.5)     		tx = 14011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115371704101562 × 215)
    floor (0.115371704101562 × 32768)
    floor (3780.5)     		ty = 3780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14011 / 3780 ti = "15/14011/3780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14011/3780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14011 ÷ 215
    14011 ÷ 32768     		x = 0.427581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3780 ÷ 215
    3780 ÷ 32768     		y = 0.1153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.14483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45501705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1153564453125 × 2 - 1) × π
    0.769287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41678673124475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45501705} λ = -0.45501705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41678673124475))-π/2
    2×atan(11.2097813416738)-π/2
    2×1.48182403674322-π/2
    2.96364807348645-1.57079632675     		φ = 1.39285175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45501705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39285175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.804527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14011 KachelY 3780 -0.45501705 1.39285175 -26.070557 79.804527
    Oben rechts KachelX + 1 14012 KachelY 3780 -0.45482530 1.39285175 -26.059570 79.804527
    Unten links KachelX 14011 KachelY + 1 3781 -0.45501705 1.39281780 -26.070557 79.802582
    Unten rechts KachelX + 1 14012 KachelY + 1 3781 -0.45482530 1.39281780 -26.059570 79.802582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39285175-1.39281780) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39285175-1.39281780) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45501705--0.45482530) × cos(1.39285175) × R
    0.000191749999999991 × 0.177006981514605 × 6371000     		do = 216.238676142255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45501705--0.45482530) × cos(1.39281780) × R
    0.000191749999999991 × 0.177040395328367 × 6371000     		du = 216.279495768639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39285175)-sin(1.39281780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177006981514605-0.177040395328367)×R²
    abs(-0.45482530--0.45501705)×3.34138137621232e-05×R²
    0.000191749999999991×3.34138137621232e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.34138137621232e-05×40589641000000     		ar = 46775.8563171153m²