Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14011 / 11058
↖ ↑ ↗
← N 50.387508°
W 26.070557°		 ← 778.91 m → N 50.387508°
W 26.059570°		 →
↑
778.92 m
↓
↑
778.92 m
↓
N 50.380503°
W 26.070557°		 ← 779.02 m →
606 750 m²		 N 50.380503°
W 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427597045898438 y=0.337478637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427597045898438 × 215)
    floor (0.427597045898438 × 32768)
    floor (14011.5)     		tx = 14011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337478637695312 × 215)
    floor (0.337478637695312 × 32768)
    floor (11058.5)     		ty = 11058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14011 / 11058 ti = "15/14011/11058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14011/11058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14011 ÷ 215
    14011 ÷ 32768     		x = 0.427581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11058 ÷ 215
    11058 ÷ 32768     		y = 0.33746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.14483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45501705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33746337890625 × 2 - 1) × π
    0.3250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02124770950568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45501705} λ = -0.45501705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02124770950568))-π/2
    2×atan(2.77665706495615)-π/2
    2×1.22511211990651-π/2
    2.45022423981302-1.57079632675     		φ = 0.87942791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45501705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87942791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.387508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14011 KachelY 11058 -0.45501705 0.87942791 -26.070557 50.387508
    Oben rechts KachelX + 1 14012 KachelY 11058 -0.45482530 0.87942791 -26.059570 50.387508
    Unten links KachelX 14011 KachelY + 1 11059 -0.45501705 0.87930565 -26.070557 50.380503
    Unten rechts KachelX + 1 14012 KachelY + 1 11059 -0.45482530 0.87930565 -26.059570 50.380503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87942791-0.87930565) × R
    0.00012225999999993 × 6371000     		dl = 778.918459999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87942791-0.87930565) × R
    0.00012225999999993 × 6371000     		dr = 778.918459999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45501705--0.45482530) × cos(0.87942791) × R
    0.000191749999999991 × 0.637591971914127 × 6371000     		do = 778.907378375157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45501705--0.45482530) × cos(0.87930565) × R
    0.000191749999999991 × 0.63768615310388 × 6371000     		du = 779.022433813171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87942791)-sin(0.87930565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637591971914127-0.63768615310388)×R²
    abs(-0.45482530--0.45501705)×9.41811897529066e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41811897529066e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41811897529066e-05×40589641000000     		ar = 606750.145803893m²