Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14010 / 11056
↖ ↑ ↗
← N 50.401515°
W 26.081543°		 ← 778.68 m → N 50.401515°
W 26.070557°		 →
↑
778.73 m
↓
↑
778.73 m
↓
N 50.394512°
W 26.081543°		 ← 778.79 m →
606 422 m²		 N 50.394512°
W 26.070557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427566528320312 y=0.337417602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427566528320312 × 215)
    floor (0.427566528320312 × 32768)
    floor (14010.5)     		tx = 14010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337417602539062 × 215)
    floor (0.337417602539062 × 32768)
    floor (11056.5)     		ty = 11056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14010 / 11056 ti = "15/14010/11056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14010/11056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14010 ÷ 215
    14010 ÷ 32768     		x = 0.42755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11056 ÷ 215
    11056 ÷ 32768     		y = 0.33740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.1448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45520880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33740234375 × 2 - 1) × π
    0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45520880} λ = -0.45520880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02163120470264))-π/2
    2×atan(2.77772210380975)-π/2
    2×1.2252343585766-π/2
    2.45046871715321-1.57079632675     		φ = 0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45520880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14010 KachelY 11056 -0.45520880 0.87967239 -26.081543 50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 14011 KachelY 11056 -0.45501705 0.87967239 -26.070557 50.401515
    Unten links KachelX 14010 KachelY + 1 11057 -0.45520880 0.87955016 -26.081543 50.394512
    Unten rechts KachelX + 1 14011 KachelY + 1 11057 -0.45501705 0.87955016 -26.070557 50.394512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87967239-0.87955016) × R
    0.000122230000000001 × 6371000     		dl = 778.727330000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87967239-0.87955016) × R
    0.000122230000000001 × 6371000     		dr = 778.727330000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45520880--0.45501705) × cos(0.87967239) × R
    0.000191750000000046 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 778.677270225296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45520880--0.45501705) × cos(0.87955016) × R
    0.000191750000000046 × 0.637497788898486 × 6371000     		du = 778.792320706791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87967239)-sin(0.87955016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637497788898486)×R²
    abs(-0.45501705--0.45520880)×9.41771324840524e-05×R²
    0.000191750000000046×9.41771324840524e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.41771324840524e-05×40589641000000     		ar = 606422.068805963m²