Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14009 / 4792
↖ ↑ ↗
← N 77.636542°
W 26.092530°		 ← 261.57 m → N 77.636542°
W 26.081543°		 →
↑
261.59 m
↓
↑
261.59 m
↓
N 77.634189°
W 26.092530°		 ← 261.62 m →
68 431 m²		 N 77.634189°
W 26.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427536010742188 y=0.146255493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427536010742188 × 215)
    floor (0.427536010742188 × 32768)
    floor (14009.5)     		tx = 14009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146255493164062 × 215)
    floor (0.146255493164062 × 32768)
    floor (4792.5)     		ty = 4792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14009 / 4792 ti = "15/14009/4792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14009/4792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14009 ÷ 215
    14009 ÷ 32768     		x = 0.427520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4792 ÷ 215
    4792 ÷ 32768     		y = 0.146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.14495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45540055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146240234375 × 2 - 1) × π
    0.70751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22273816158276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45540055} λ = -0.45540055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22273816158276))-π/2
    2×atan(9.23257657317856)-π/2
    2×1.46290479904407-π/2
    2.92580959808814-1.57079632675     		φ = 1.35501327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45540055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.092530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35501327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.636542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14009 KachelY 4792 -0.45540055 1.35501327 -26.092530 77.636542
    Oben rechts KachelX + 1 14010 KachelY 4792 -0.45520880 1.35501327 -26.081543 77.636542
    Unten links KachelX 14009 KachelY + 1 4793 -0.45540055 1.35497221 -26.092530 77.634189
    Unten rechts KachelX + 1 14010 KachelY + 1 4793 -0.45520880 1.35497221 -26.081543 77.634189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35501327-1.35497221) × R
    4.10600000000372e-05 × 6371000     		dl = 261.593260000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35501327-1.35497221) × R
    4.10600000000372e-05 × 6371000     		dr = 261.593260000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45540055--0.45520880) × cos(1.35501327) × R
    0.000191749999999991 × 0.214112390816571 × 6371000     		do = 261.56810053285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45540055--0.45520880) × cos(1.35497221) × R
    0.000191749999999991 × 0.214152498414906 × 6371000     		du = 261.6170975492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35501327)-sin(1.35497221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214112390816571-0.214152498414906)×R²
    abs(-0.45520880--0.45540055)×4.01075983352261e-05×R²
    0.000191749999999991×4.01075983352261e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.01075983352261e-05×40589641000000     		ar = 68430.8607848287m²