Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14009 / 3510
↖ ↑ ↗
← N 80.316424°
W 26.092530°		 ← 205.49 m → N 80.316424°
W 26.081543°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
N 80.314576°
W 26.092530°		 ← 205.53 m →
42 238 m²		 N 80.314576°
W 26.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427536010742188 y=0.107131958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427536010742188 × 215)
    floor (0.427536010742188 × 32768)
    floor (14009.5)     		tx = 14009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107131958007812 × 215)
    floor (0.107131958007812 × 32768)
    floor (3510.5)     		ty = 3510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14009 / 3510 ti = "15/14009/3510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14009/3510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14009 ÷ 215
    14009 ÷ 32768     		x = 0.427520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3510 ÷ 215
    3510 ÷ 32768     		y = 0.10711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.14495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45540055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10711669921875 × 2 - 1) × π
    0.7857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46855858283441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45540055} λ = -0.45540055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46855858283441))-π/2
    2×atan(11.8054180495673)-π/2
    2×1.4862911878014-π/2
    2.97258237560281-1.57079632675     		φ = 1.40178605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45540055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.092530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40178605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.316424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14009 KachelY 3510 -0.45540055 1.40178605 -26.092530 80.316424
    Oben rechts KachelX + 1 14010 KachelY 3510 -0.45520880 1.40178605 -26.081543 80.316424
    Unten links KachelX 14009 KachelY + 1 3511 -0.45540055 1.40175379 -26.092530 80.314576
    Unten rechts KachelX + 1 14010 KachelY + 1 3511 -0.45520880 1.40175379 -26.081543 80.314576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40178605-1.40175379) × R
    3.22599999997841e-05 × 6371000     		dl = 205.528459998625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40178605-1.40175379) × R
    3.22599999997841e-05 × 6371000     		dr = 205.528459998625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45540055--0.45520880) × cos(1.40178605) × R
    0.000191749999999991 × 0.168206810250392 × 6371000     		do = 205.488041519171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45540055--0.45520880) × cos(1.40175379) × R
    0.000191749999999991 × 0.1682386105136 × 6371000     		du = 205.526889968866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40178605)-sin(1.40175379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168206810250392-0.1682386105136)×R²
    abs(-0.45520880--0.45540055)×3.18002632080927e-05×R²
    0.000191749999999991×3.18002632080927e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.18002632080927e-05×40589641000000     		ar = 42237.6329560898m²