Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14006 / 10902
↖ ↑ ↗
← N 51.467697°
W 26.125488°		 ← 761.03 m → N 51.467697°
W 26.114502°		 →
↑
761.08 m
↓
↑
761.08 m
↓
N 51.460852°
W 26.125488°		 ← 761.14 m →
579 246 m²		 N 51.460852°
W 26.114502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427444458007812 y=0.332717895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427444458007812 × 215)
    floor (0.427444458007812 × 32768)
    floor (14006.5)     		tx = 14006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332717895507812 × 215)
    floor (0.332717895507812 × 32768)
    floor (10902.5)     		ty = 10902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14006 / 10902 ti = "15/14006/10902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14006/10902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14006 ÷ 215
    14006 ÷ 32768     		x = 0.42742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10902 ÷ 215
    10902 ÷ 32768     		y = 0.33270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45597579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33270263671875 × 2 - 1) × π
    0.3345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05116033486859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45597579} λ = -0.45597579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05116033486859))-π/2
    2×atan(2.86096887477988)-π/2
    2×1.23453854854047-π/2
    2.46907709708094-1.57079632675     		φ = 0.89828077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45597579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.125488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89828077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.467697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14006 KachelY 10902 -0.45597579 0.89828077 -26.125488 51.467697
    Oben rechts KachelX + 1 14007 KachelY 10902 -0.45578404 0.89828077 -26.114502 51.467697
    Unten links KachelX 14006 KachelY + 1 10903 -0.45597579 0.89816131 -26.125488 51.460852
    Unten rechts KachelX + 1 14007 KachelY + 1 10903 -0.45578404 0.89816131 -26.114502 51.460852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89828077-0.89816131) × R
    0.00011945999999996 × 6371000     		dl = 761.079659999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89828077-0.89816131) × R
    0.00011945999999996 × 6371000     		dr = 761.079659999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45597579--0.45578404) × cos(0.89828077) × R
    0.000191749999999991 × 0.622955768067913 × 6371000     		do = 761.027217285621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45597579--0.45578404) × cos(0.89816131) × R
    0.000191749999999991 × 0.623049212051311 × 6371000     		du = 761.141372123417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89828077)-sin(0.89816131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622955768067913-0.623049212051311)×R²
    abs(-0.45578404--0.45597579)×9.3443983398056e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3443983398056e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3443983398056e-05×40589641000000     		ar = 579245.77693343m²