Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14005 / 3406
↖ ↑ ↗
← N 80.506737°
W 26.136475°		 ← 201.49 m → N 80.506737°
W 26.125488°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
N 80.504925°
W 26.136475°		 ← 201.53 m →
40 606 m²		 N 80.504925°
W 26.125488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427413940429688 y=0.103958129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427413940429688 × 215)
    floor (0.427413940429688 × 32768)
    floor (14005.5)     		tx = 14005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103958129882812 × 215)
    floor (0.103958129882812 × 32768)
    floor (3406.5)     		ty = 3406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14005 / 3406 ti = "15/14005/3406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14005/3406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14005 ÷ 215
    14005 ÷ 32768     		x = 0.427398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3406 ÷ 215
    3406 ÷ 32768     		y = 0.10394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.14520263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45616754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10394287109375 × 2 - 1) × π
    0.7921142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48850033307636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45616754} λ = -0.45616754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48850033307636))-π/2
    2×atan(12.0432017797228)-π/2
    2×1.4879519767586-π/2
    2.9759039535172-1.57079632675     		φ = 1.40510763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45616754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.136475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40510763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.506737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14005 KachelY 3406 -0.45616754 1.40510763 -26.136475 80.506737
    Oben rechts KachelX + 1 14006 KachelY 3406 -0.45597579 1.40510763 -26.125488 80.506737
    Unten links KachelX 14005 KachelY + 1 3407 -0.45616754 1.40507600 -26.136475 80.504925
    Unten rechts KachelX + 1 14006 KachelY + 1 3407 -0.45597579 1.40507600 -26.125488 80.504925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40510763-1.40507600) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dl = 201.514730000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40510763-1.40507600) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dr = 201.514730000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45616754--0.45597579) × cos(1.40510763) × R
    0.000191749999999991 × 0.164931635143825 × 6371000     		do = 201.486959058366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45616754--0.45597579) × cos(1.40507600) × R
    0.000191749999999991 × 0.16496283188851 × 6371000     		du = 201.525070226145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40510763)-sin(1.40507600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164931635143825-0.16496283188851)×R²
    abs(-0.45597579--0.45616754)×3.11967446847139e-05×R²
    0.000191749999999991×3.11967446847139e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.11967446847139e-05×40589641000000     		ar = 40606.430137472m²