Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14003 / 3506
↖ ↑ ↗
← N 80.323813°
W 26.158447°		 ← 205.33 m → N 80.323813°
W 26.147461°		 →
↑
205.34 m
↓
↑
205.34 m
↓
N 80.321967°
W 26.158447°		 ← 205.37 m →
42 166 m²		 N 80.321967°
W 26.147461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427352905273438 y=0.107009887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427352905273438 × 215)
    floor (0.427352905273438 × 32768)
    floor (14003.5)     		tx = 14003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107009887695312 × 215)
    floor (0.107009887695312 × 32768)
    floor (3506.5)     		ty = 3506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14003 / 3506 ti = "15/14003/3506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14003/3506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14003 ÷ 215
    14003 ÷ 32768     		x = 0.427337646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3506 ÷ 215
    3506 ÷ 32768     		y = 0.10699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.14532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45655103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10699462890625 × 2 - 1) × π
    0.7860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46932557322833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45655103} λ = -0.45655103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46932557322833))-π/2
    2×atan(11.8144761651073)-π/2
    2×1.48635566992618-π/2
    2.97271133985237-1.57079632675     		φ = 1.40191501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45655103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.158447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40191501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.323813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14003 KachelY 3506 -0.45655103 1.40191501 -26.158447 80.323813
    Oben rechts KachelX + 1 14004 KachelY 3506 -0.45635928 1.40191501 -26.147461 80.323813
    Unten links KachelX 14003 KachelY + 1 3507 -0.45655103 1.40188278 -26.158447 80.321967
    Unten rechts KachelX + 1 14004 KachelY + 1 3507 -0.45635928 1.40188278 -26.147461 80.321967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40191501-1.40188278) × R
    3.22299999999665e-05 × 6371000     		dl = 205.337329999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40191501-1.40188278) × R
    3.22299999999665e-05 × 6371000     		dr = 205.337329999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45655103--0.45635928) × cos(1.40191501) × R
    0.000191750000000046 × 0.168079686309222 × 6371000     		do = 205.332741923082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45655103--0.45635928) × cos(1.40188278) × R
    0.000191750000000046 × 0.168111457698974 × 6371000     		du = 205.371555099831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40191501)-sin(1.40188278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168079686309222-0.168111457698974)×R²
    abs(-0.45635928--0.45655103)×3.17713897525773e-05×R²
    0.000191750000000046×3.17713897525773e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.17713897525773e-05×40589641000000     		ar = 42166.4618888381m²