Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14001 / 4651
↖ ↑ ↗
← N 77.963874°
W 26.180420°		 ← 254.75 m → N 77.963874°
W 26.169434°		 →
↑
254.78 m
↓
↑
254.78 m
↓
N 77.961583°
W 26.180420°		 ← 254.79 m →
64 909 m²		 N 77.961583°
W 26.169434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427291870117188 y=0.141952514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427291870117188 × 215)
    floor (0.427291870117188 × 32768)
    floor (14001.5)     		tx = 14001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141952514648438 × 215)
    floor (0.141952514648438 × 32768)
    floor (4651.5)     		ty = 4651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14001 / 4651 ti = "15/14001/4651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14001/4651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14001 ÷ 215
    14001 ÷ 32768     		x = 0.427276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4651 ÷ 215
    4651 ÷ 32768     		y = 0.141937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.14544677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45693453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141937255859375 × 2 - 1) × π
    0.71612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24977457296848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45693453} λ = -0.45693453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24977457296848))-π/2
    2×atan(9.48559728528571)-π/2
    2×1.46576131306926-π/2
    2.93152262613852-1.57079632675     		φ = 1.36072630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45693453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.180420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36072630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.963874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14001 KachelY 4651 -0.45693453 1.36072630 -26.180420 77.963874
    Oben rechts KachelX + 1 14002 KachelY 4651 -0.45674278 1.36072630 -26.169434 77.963874
    Unten links KachelX 14001 KachelY + 1 4652 -0.45693453 1.36068631 -26.180420 77.961583
    Unten rechts KachelX + 1 14002 KachelY + 1 4652 -0.45674278 1.36068631 -26.169434 77.961583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36072630-1.36068631) × R
    3.99900000001008e-05 × 6371000     		dl = 254.776290000642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36072630-1.36068631) × R
    3.99900000001008e-05 × 6371000     		dr = 254.776290000642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45693453--0.45674278) × cos(1.36072630) × R
    0.000191749999999991 × 0.208528387705194 × 6371000     		do = 254.746463159869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45693453--0.45674278) × cos(1.36068631) × R
    0.000191749999999991 × 0.208567498410863 × 6371000     		du = 254.79424233301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36072630)-sin(1.36068631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208528387705194-0.208567498410863)×R²
    abs(-0.45674278--0.45693453)×3.91107056691153e-05×R²
    0.000191749999999991×3.91107056691153e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.91107056691153e-05×40589641000000     		ar = 64909.4452835182m²