Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14000 / 3407
↖ ↑ ↗
← N 80.504925°
W 26.191406°		 ← 201.51 m → N 80.504925°
W 26.180420°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
N 80.503112°
W 26.191406°		 ← 201.55 m →
40 625 m²		 N 80.503112°
W 26.180420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427261352539062 y=0.103988647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427261352539062 × 215)
    floor (0.427261352539062 × 32768)
    floor (14000.5)     		tx = 14000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103988647460938 × 215)
    floor (0.103988647460938 × 32768)
    floor (3407.5)     		ty = 3407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14000 / 3407 ti = "15/14000/3407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14000/3407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14000 ÷ 215
    14000 ÷ 32768     		x = 0.42724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3407 ÷ 215
    3407 ÷ 32768     		y = 0.103973388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103973388671875 × 2 - 1) × π
    0.79205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48830858547787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45712627} λ = -0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48830858547787))-π/2
    2×atan(12.0408927460865)-π/2
    2×1.48793616264047-π/2
    2.97587232528094-1.57079632675     		φ = 1.40507600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40507600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.504925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14000 KachelY 3407 -0.45712627 1.40507600 -26.191406 80.504925
    Oben rechts KachelX + 1 14001 KachelY 3407 -0.45693453 1.40507600 -26.180420 80.504925
    Unten links KachelX 14000 KachelY + 1 3408 -0.45712627 1.40504436 -26.191406 80.503112
    Unten rechts KachelX + 1 14001 KachelY + 1 3408 -0.45693453 1.40504436 -26.180420 80.503112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40507600-1.40504436) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40507600-1.40504436) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45712627--0.45693453) × cos(1.40507600) × R
    0.000191739999999996 × 0.16496283188851 × 6371000     		do = 201.514560444131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45712627--0.45693453) × cos(1.40504436) × R
    0.000191739999999996 × 0.164994038331102 × 6371000     		du = 201.552681471092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40507600)-sin(1.40504436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16496283188851-0.164994038331102)×R²
    abs(-0.45693453--0.45712627)×3.12064425921077e-05×R²
    0.000191739999999996×3.12064425921077e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.12064425921077e-05×40589641000000     		ar = 40624.8329236229m²