Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14000 / 21775
↖ ↑ ↗
← S 50.840636°
W 26.191406°		 ← 771.40 m → S 50.840636°
W 26.180420°		 →
↑
771.34 m
↓
↑
771.34 m
↓
S 50.847573°
W 26.191406°		 ← 771.29 m →
594 965 m²		 S 50.847573°
W 26.180420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427261352539062 y=0.664535522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427261352539062 × 215)
    floor (0.427261352539062 × 32768)
    floor (14000.5)     		tx = 14000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664535522460938 × 215)
    floor (0.664535522460938 × 32768)
    floor (21775.5)     		ty = 21775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14000 / 21775 ti = "15/14000/21775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14000/21775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14000 ÷ 215
    14000 ÷ 32768     		x = 0.42724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21775 ÷ 215
    21775 ÷ 32768     		y = 0.664520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.32904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03371130340689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45712627} λ = -0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03371130340689))-π/2
    2×atan(0.355684455047718)-π/2
    2×0.341729918903253-π/2
    0.683459837806507-1.57079632675     		φ = -0.88733649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88733649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.840636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14000 KachelY 21775 -0.45712627 -0.88733649 -26.191406 -50.840636
    Oben rechts KachelX + 1 14001 KachelY 21775 -0.45693453 -0.88733649 -26.180420 -50.840636
    Unten links KachelX 14000 KachelY + 1 21776 -0.45712627 -0.88745756 -26.191406 -50.847573
    Unten rechts KachelX + 1 14001 KachelY + 1 21776 -0.45693453 -0.88745756 -26.180420 -50.847573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88733649--0.88745756) × R
    0.000121069999999945 × 6371000     		dl = 771.336969999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88733649--0.88745756) × R
    0.000121069999999945 × 6371000     		dr = 771.336969999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45712627--0.45693453) × cos(-0.88733649) × R
    0.000191739999999996 × 0.63147952988374 × 6371000     		do = 771.39994771666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45712627--0.45693453) × cos(-0.88745756) × R
    0.000191739999999996 × 0.6313856484801 × 6371000     		du = 771.285264490311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88733649)-sin(-0.88745756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63147952988374-0.6313856484801)×R²
    abs(-0.45693453--0.45712627)×9.38814036408608e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38814036408608e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38814036408608e-05×40589641000000     		ar = 594965.069350608m²