Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 140 / 75
↖ ↑ ↗
← N 82.166446°
W130.781250°		 ← 5 328.07 m → N 82.166446°
W130.429688°		 →
↑
5 344.31 m
↓
↑
5 344.31 m
↓
N 82.118384°
W130.781250°		 ← 5 360.55 m →
28 561 661 m²		 N 82.118384°
W130.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13720703125 y=0.07373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13720703125 × 210)
    floor (0.13720703125 × 1024)
    floor (140.5)     		tx = 140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07373046875 × 210)
    floor (0.07373046875 × 1024)
    floor (75.5)     		ty = 75
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 140 / 75 ti = "10/140/75"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/140/75.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 140 ÷ 210
    140 ÷ 1024     		x = 0.13671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75 ÷ 210
    75 ÷ 1024     		y = 0.0732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13671875 × 2 - 1) × π
    -0.7265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28256341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0732421875 × 2 - 1) × π
    0.853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.68139841714746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28256341} λ = -2.28256341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.68139841714746))-π/2
    2×atan(14.6055036081823)-π/2
    2×1.50243567214727-π/2
    3.00487134429453-1.57079632675     		φ = 1.43407502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28256341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43407502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.166446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 140 KachelY 75 -2.28256341 1.43407502 -130.781250 82.166446
    Oben rechts KachelX + 1 141 KachelY 75 -2.27642749 1.43407502 -130.429688 82.166446
    Unten links KachelX 140 KachelY + 1 76 -2.28256341 1.43323617 -130.781250 82.118384
    Unten rechts KachelX + 1 141 KachelY + 1 76 -2.27642749 1.43323617 -130.429688 82.118384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43407502-1.43323617) × R
    0.000838850000000058 × 6371000     		dl = 5344.31335000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43407502-1.43323617) × R
    0.000838850000000058 × 6371000     		dr = 5344.31335000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28256341--2.27642749) × cos(1.43407502) × R
    0.00613591999999974 × 0.136295755970977 × 6371000     		do = 5328.06637606103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28256341--2.27642749) × cos(1.43323617) × R
    0.00613591999999974 × 0.137126729932919 × 6371000     		du = 5360.55076557457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43407502)-sin(1.43323617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.136295755970977-0.137126729932919)×R²
    abs(-2.27642749--2.28256341)×0.000830973961941817×R²
    0.00613591999999974×0.000830973961941817×6371000²
    0.00613591999999974×0.000830973961941817×40589641000000     		ar = 28561661.3163681m²