Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 140 / 409
↖ ↑ ↗
← S 72.607120°
W 81.562500°		 ← 23.371 km → S 72.607120°
W 80.859375°		 →
↑
23.235 km
↓
↑
23.235 km
↓
S 72.816073°
W 81.562500°		 ← 23.099 km →
539.850 km²		 S 72.816073°
W 80.859375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2744140625 y=0.7998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2744140625 × 29)
    floor (0.2744140625 × 512)
    floor (140.5)     		tx = 140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7998046875 × 29)
    floor (0.7998046875 × 512)
    floor (409.5)     		ty = 409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 140 / 409 ti = "9/140/409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/140/409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 140 ÷ 29
    140 ÷ 512     		x = 0.2734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 409 ÷ 29
    409 ÷ 512     		y = 0.798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2734375 × 2 - 1) × π
    -0.453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42353417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798828125 × 2 - 1) × π
    -0.59765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87759248431836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42353417} λ = -1.42353417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87759248431836))-π/2
    2×atan(0.15295791140063)-π/2
    2×0.151781507717093-π/2
    0.303563015434187-1.57079632675     		φ = -1.26723331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42353417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26723331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.607120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 140 KachelY 409 -1.42353417 -1.26723331 -81.562500 -72.607120
    Oben rechts KachelX + 1 141 KachelY 409 -1.41126232 -1.26723331 -80.859375 -72.607120
    Unten links KachelX 140 KachelY + 1 410 -1.42353417 -1.27088023 -81.562500 -72.816073
    Unten rechts KachelX + 1 141 KachelY + 1 410 -1.41126232 -1.27088023 -80.859375 -72.816073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26723331--1.27088023) × R
    0.00364692 × 6371000     		dl = 23234.52732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26723331--1.27088023) × R
    0.00364692 × 6371000     		dr = 23234.52732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42353417--1.41126232) × cos(-1.26723331) × R
    0.0122718499999999 × 0.298922203589153 × 6371000     		do = 23370.9205174599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42353417--1.41126232) × cos(-1.27088023) × R
    0.0122718499999999 × 0.29544004982785 × 6371000     		du = 23098.6719597822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26723331)-sin(-1.27088023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298922203589153-0.29544004982785)×R²
    abs(-1.41126232--1.42353417)×0.00348215376130262×R²
    0.0122718499999999×0.00348215376130262×6371000²
    0.0122718499999999×0.00348215376130262×40589641000000     		ar = 539850106.315991m²