Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13998 / 7278
↖ ↑ ↗
← N 70.207436°
W 26.213379°		 ← 413.67 m → N 70.207436°
W 26.202392°		 →
↑
413.67 m
↓
↑
413.67 m
↓
N 70.203715°
W 26.213379°		 ← 413.74 m →
171 136 m²		 N 70.203715°
W 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427200317382812 y=0.222122192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427200317382812 × 215)
    floor (0.427200317382812 × 32768)
    floor (13998.5)     		tx = 13998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222122192382812 × 215)
    floor (0.222122192382812 × 32768)
    floor (7278.5)     		ty = 7278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13998 / 7278 ti = "15/13998/7278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13998/7278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13998 ÷ 215
    13998 ÷ 32768     		x = 0.42718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7278 ÷ 215
    7278 ÷ 32768     		y = 0.22210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45750977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22210693359375 × 2 - 1) × π
    0.5557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74605363176093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45750977} λ = -0.45750977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74605363176093))-π/2
    2×atan(5.73193764646809)-π/2
    2×1.39807361962113-π/2
    2.79614723924225-1.57079632675     		φ = 1.22535091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45750977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22535091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13998 KachelY 7278 -0.45750977 1.22535091 -26.213379 70.207436
    Oben rechts KachelX + 1 13999 KachelY 7278 -0.45731802 1.22535091 -26.202392 70.207436
    Unten links KachelX 13998 KachelY + 1 7279 -0.45750977 1.22528598 -26.213379 70.203715
    Unten rechts KachelX + 1 13999 KachelY + 1 7279 -0.45731802 1.22528598 -26.202392 70.203715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22535091-1.22528598) × R
    6.49299999999631e-05 × 6371000     		dl = 413.669029999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22535091-1.22528598) × R
    6.49299999999631e-05 × 6371000     		dr = 413.669029999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45750977--0.45731802) × cos(1.22535091) × R
    0.000191749999999991 × 0.338615814497333 × 6371000     		do = 413.666369660641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45750977--0.45731802) × cos(1.22528598) × R
    0.000191749999999991 × 0.338676908025624 × 6371000     		du = 413.741003912722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22535091)-sin(1.22528598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338615814497333-0.338676908025624)×R²
    abs(-0.45731802--0.45750977)×6.10935282911451e-05×R²
    0.000191749999999991×6.10935282911451e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.10935282911451e-05×40589641000000     		ar = 171136.402880361m²