Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13998 / 10898
↖ ↑ ↗
← N 51.495065°
W 26.213379°		 ← 760.57 m → N 51.495065°
W 26.202392°		 →
↑
760.63 m
↓
↑
760.63 m
↓
N 51.488224°
W 26.213379°		 ← 760.68 m →
578 559 m²		 N 51.488224°
W 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427200317382812 y=0.332595825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427200317382812 × 215)
    floor (0.427200317382812 × 32768)
    floor (13998.5)     		tx = 13998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332595825195312 × 215)
    floor (0.332595825195312 × 32768)
    floor (10898.5)     		ty = 10898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13998 / 10898 ti = "15/13998/10898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13998/10898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13998 ÷ 215
    13998 ÷ 32768     		x = 0.42718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10898 ÷ 215
    10898 ÷ 32768     		y = 0.33258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45750977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33258056640625 × 2 - 1) × π
    0.3348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05192732526251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45750977} λ = -0.45750977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05192732526251))-π/2
    2×atan(2.86316405215651)-π/2
    2×1.2347773774224-π/2
    2.46955475484479-1.57079632675     		φ = 0.89875843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45750977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89875843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.495065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13998 KachelY 10898 -0.45750977 0.89875843 -26.213379 51.495065
    Oben rechts KachelX + 1 13999 KachelY 10898 -0.45731802 0.89875843 -26.202392 51.495065
    Unten links KachelX 13998 KachelY + 1 10899 -0.45750977 0.89863904 -26.213379 51.488224
    Unten rechts KachelX + 1 13999 KachelY + 1 10899 -0.45731802 0.89863904 -26.202392 51.488224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89875843-0.89863904) × R
    0.000119390000000053 × 6371000     		dl = 760.633690000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89875843-0.89863904) × R
    0.000119390000000053 × 6371000     		dr = 760.633690000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45750977--0.45731802) × cos(0.89875843) × R
    0.000191749999999991 × 0.622582044107387 × 6371000     		do = 760.570661426778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45750977--0.45731802) × cos(0.89863904) × R
    0.000191749999999991 × 0.622675468855821 × 6371000     		du = 760.684792766386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89875843)-sin(0.89863904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622582044107387-0.622675468855821)×R²
    abs(-0.45731802--0.45750977)×9.3424748433657e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3424748433657e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3424748433657e-05×40589641000000     		ar = 578559.075464879m²