Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13997 / 10970
↖ ↑ ↗
← N 50.999929°
W 26.224365°		 ← 768.80 m → N 50.999929°
W 26.213379°		 →
↑
768.85 m
↓
↑
768.85 m
↓
N 50.993015°
W 26.224365°		 ← 768.92 m →
591 140 m²		 N 50.993015°
W 26.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427169799804688 y=0.334793090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427169799804688 × 215)
    floor (0.427169799804688 × 32768)
    floor (13997.5)     		tx = 13997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334793090820312 × 215)
    floor (0.334793090820312 × 32768)
    floor (10970.5)     		ty = 10970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13997 / 10970 ti = "15/13997/10970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13997/10970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13997 ÷ 215
    13997 ÷ 32768     		x = 0.427154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10970 ÷ 215
    10970 ÷ 32768     		y = 0.33477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427154541015625 × 2 - 1) × π
    -0.14569091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45770152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33477783203125 × 2 - 1) × π
    0.3304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03812149817194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45770152} λ = -0.45770152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03812149817194))-π/2
    2×atan(2.82390731372067)-π/2
    2×1.23045650179692-π/2
    2.46091300359384-1.57079632675     		φ = 0.89011668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45770152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.224365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89011668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.999929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13997 KachelY 10970 -0.45770152 0.89011668 -26.224365 50.999929
    Oben rechts KachelX + 1 13998 KachelY 10970 -0.45750977 0.89011668 -26.213379 50.999929
    Unten links KachelX 13997 KachelY + 1 10971 -0.45770152 0.88999600 -26.224365 50.993015
    Unten rechts KachelX + 1 13998 KachelY + 1 10971 -0.45750977 0.88999600 -26.213379 50.993015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89011668-0.88999600) × R
    0.000120679999999984 × 6371000     		dl = 768.852279999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89011668-0.88999600) × R
    0.000120679999999984 × 6371000     		dr = 768.852279999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45770152--0.45750977) × cos(0.89011668) × R
    0.000191749999999991 × 0.629321353557924 × 6371000     		do = 768.803666369449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45770152--0.45750977) × cos(0.88999600) × R
    0.000191749999999991 × 0.629415134855652 × 6371000     		du = 768.918233283669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89011668)-sin(0.88999600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629321353557924-0.629415134855652)×R²
    abs(-0.45750977--0.45770152)×9.37812977281904e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37812977281904e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37812977281904e-05×40589641000000     		ar = 591140.494994518m²