Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13996 / 7281
↖ ↑ ↗
← N 70.196272°
W 26.235352°		 ← 413.89 m → N 70.196272°
W 26.224365°		 →
↑
413.92 m
↓
↑
413.92 m
↓
N 70.192550°
W 26.235352°		 ← 413.96 m →
171 335 m²		 N 70.192550°
W 26.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427139282226562 y=0.222213745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427139282226562 × 215)
    floor (0.427139282226562 × 32768)
    floor (13996.5)     		tx = 13996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222213745117188 × 215)
    floor (0.222213745117188 × 32768)
    floor (7281.5)     		ty = 7281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13996 / 7281 ti = "15/13996/7281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13996/7281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13996 ÷ 215
    13996 ÷ 32768     		x = 0.4271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7281 ÷ 215
    7281 ÷ 32768     		y = 0.222198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222198486328125 × 2 - 1) × π
    0.55560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74547838896548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45789327} λ = -0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74547838896548))-π/2
    2×atan(5.72864133881255)-π/2
    2×1.39797620010628-π/2
    2.79595240021255-1.57079632675     		φ = 1.22515607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22515607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.196272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13996 KachelY 7281 -0.45789327 1.22515607 -26.235352 70.196272
    Oben rechts KachelX + 1 13997 KachelY 7281 -0.45770152 1.22515607 -26.224365 70.196272
    Unten links KachelX 13996 KachelY + 1 7282 -0.45789327 1.22509110 -26.235352 70.192550
    Unten rechts KachelX + 1 13997 KachelY + 1 7282 -0.45770152 1.22509110 -26.224365 70.192550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22515607-1.22509110) × R
    6.4969999999942e-05 × 6371000     		dl = 413.923869999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22515607-1.22509110) × R
    6.4969999999942e-05 × 6371000     		dr = 413.923869999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45789327--0.45770152) × cos(1.22515607) × R
    0.000191750000000046 × 0.338799137841397 × 6371000     		do = 413.89032465331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45789327--0.45770152) × cos(1.22509110) × R
    0.000191750000000046 × 0.338860264717795 × 6371000     		du = 413.964999644748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22515607)-sin(1.22509110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338799137841397-0.338860264717795)×R²
    abs(-0.45770152--0.45789327)×6.11268763983652e-05×R²
    0.000191750000000046×6.11268763983652e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.11268763983652e-05×40589641000000     		ar = 171334.539877054m²