Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13996 / 7268
↖ ↑ ↗
← N 70.244603°
W 26.235352°		 ← 412.92 m → N 70.244603°
W 26.224365°		 →
↑
412.90 m
↓
↑
412.90 m
↓
N 70.240890°
W 26.235352°		 ← 413 m →
170 512 m²		 N 70.240890°
W 26.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427139282226562 y=0.221817016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427139282226562 × 215)
    floor (0.427139282226562 × 32768)
    floor (13996.5)     		tx = 13996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221817016601562 × 215)
    floor (0.221817016601562 × 32768)
    floor (7268.5)     		ty = 7268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13996 / 7268 ti = "15/13996/7268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13996/7268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13996 ÷ 215
    13996 ÷ 32768     		x = 0.4271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7268 ÷ 215
    7268 ÷ 32768     		y = 0.2218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2218017578125 × 2 - 1) × π
    0.556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74797110774573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45789327} λ = -0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74797110774573))-π/2
    2×atan(5.74293904333797)-π/2
    2×1.39839797075709-π/2
    2.79679594151419-1.57079632675     		φ = 1.22599961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22599961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.244603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13996 KachelY 7268 -0.45789327 1.22599961 -26.235352 70.244603
    Oben rechts KachelX + 1 13997 KachelY 7268 -0.45770152 1.22599961 -26.224365 70.244603
    Unten links KachelX 13996 KachelY + 1 7269 -0.45789327 1.22593480 -26.235352 70.240890
    Unten rechts KachelX + 1 13997 KachelY + 1 7269 -0.45770152 1.22593480 -26.224365 70.240890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22599961-1.22593480) × R
    6.48099999998042e-05 × 6371000     		dl = 412.904509998752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22599961-1.22593480) × R
    6.48099999998042e-05 × 6371000     		dr = 412.904509998752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45789327--0.45770152) × cos(1.22599961) × R
    0.000191750000000046 × 0.338005365427029 × 6371000     		do = 412.920621116351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45789327--0.45770152) × cos(1.22593480) × R
    0.000191750000000046 × 0.338066360271609 × 6371000     		du = 412.995134812538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22599961)-sin(1.22593480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338005365427029-0.338066360271609)×R²
    abs(-0.45770152--0.45789327)×6.09948445806086e-05×R²
    0.000191750000000046×6.09948445806086e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.09948445806086e-05×40589641000000     		ar = 170512.17031124m²