Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13995 / 21754
↖ ↑ ↗
← S 50.694718°
W 26.246338°		 ← 773.81 m → S 50.694718°
W 26.235352°		 →
↑
773.76 m
↓
↑
773.76 m
↓
S 50.701676°
W 26.246338°		 ← 773.69 m →
598 697 m²		 S 50.701676°
W 26.235352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427108764648438 y=0.663894653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427108764648438 × 215)
    floor (0.427108764648438 × 32768)
    floor (13995.5)     		tx = 13995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663894653320312 × 215)
    floor (0.663894653320312 × 32768)
    floor (21754.5)     		ty = 21754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13995 / 21754 ti = "15/13995/21754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13995/21754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13995 ÷ 215
    13995 ÷ 32768     		x = 0.427093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21754 ÷ 215
    21754 ÷ 32768     		y = 0.66387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427093505859375 × 2 - 1) × π
    -0.14581298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45808501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.3277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02968460383881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45808501} λ = -0.45808501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02968460383881))-π/2
    2×atan(0.357119576952484)-π/2
    2×0.343003293583786-π/2
    0.686006587167572-1.57079632675     		φ = -0.88478974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45808501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.246338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88478974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.694718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13995 KachelY 21754 -0.45808501 -0.88478974 -26.246338 -50.694718
    Oben rechts KachelX + 1 13996 KachelY 21754 -0.45789327 -0.88478974 -26.235352 -50.694718
    Unten links KachelX 13995 KachelY + 1 21755 -0.45808501 -0.88491119 -26.246338 -50.701676
    Unten rechts KachelX + 1 13996 KachelY + 1 21755 -0.45789327 -0.88491119 -26.235352 -50.701676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88478974--0.88491119) × R
    0.000121449999999967 × 6371000     		dl = 773.757949999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88478974--0.88491119) × R
    0.000121449999999967 × 6371000     		dr = 773.757949999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45808501--0.45789327) × cos(-0.88478974) × R
    0.000191739999999996 × 0.633452210853778 × 6371000     		do = 773.80972653788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45808501--0.45789327) × cos(-0.88491119) × R
    0.000191739999999996 × 0.633358230380886 × 6371000     		du = 773.694922290959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88478974)-sin(-0.88491119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633452210853778-0.633358230380886)×R²
    abs(-0.45789327--0.45808501)×9.39804728914417e-05×R²
    0.000191739999999996×9.39804728914417e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.39804728914417e-05×40589641000000     		ar = 598697.013082543m²