Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13994 / 7398
↖ ↑ ↗
← N 69.756156°
W 26.257324°		 ← 422.71 m → N 69.756156°
W 26.246338°		 →
↑
422.78 m
↓
↑
422.78 m
↓
N 69.752354°
W 26.257324°		 ← 422.78 m →
178 728 m²		 N 69.752354°
W 26.246338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427078247070312 y=0.225784301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427078247070312 × 215)
    floor (0.427078247070312 × 32768)
    floor (13994.5)     		tx = 13994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225784301757812 × 215)
    floor (0.225784301757812 × 32768)
    floor (7398.5)     		ty = 7398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13994 / 7398 ti = "15/13994/7398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13994/7398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13994 ÷ 215
    13994 ÷ 32768     		x = 0.42706298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7398 ÷ 215
    7398 ÷ 32768     		y = 0.22576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42706298828125 × 2 - 1) × π
    -0.1458740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45827676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22576904296875 × 2 - 1) × π
    0.5484619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7230439199433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45827676} λ = -0.45827676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7230439199433))-π/2
    2×atan(5.60155321969349)-π/2
    2×1.39413545596328-π/2
    2.78827091192656-1.57079632675     		φ = 1.21747459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45827676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.257324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21747459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.756156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13994 KachelY 7398 -0.45827676 1.21747459 -26.257324 69.756156
    Oben rechts KachelX + 1 13995 KachelY 7398 -0.45808501 1.21747459 -26.246338 69.756156
    Unten links KachelX 13994 KachelY + 1 7399 -0.45827676 1.21740823 -26.257324 69.752354
    Unten rechts KachelX + 1 13995 KachelY + 1 7399 -0.45808501 1.21740823 -26.246338 69.752354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21747459-1.21740823) × R
    6.6359999999932e-05 × 6371000     		dl = 422.779559999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21747459-1.21740823) × R
    6.6359999999932e-05 × 6371000     		dr = 422.779559999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45827676--0.45808501) × cos(1.21747459) × R
    0.000191749999999991 × 0.346016258867176 × 6371000     		do = 422.707042970282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45827676--0.45808501) × cos(1.21740823) × R
    0.000191749999999991 × 0.346078518949598 × 6371000     		du = 422.783102330677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21747459)-sin(1.21740823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346016258867176-0.346078518949598)×R²
    abs(-0.45808501--0.45827676)×6.22600824217168e-05×R²
    0.000191749999999991×6.22600824217168e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.22600824217168e-05×40589641000000     		ar = 178727.975872336m²