Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13990 / 21733
↖ ↑ ↗
← S 50.548344°
W 26.301269°		 ← 776.26 m → S 50.548344°
W 26.290283°		 →
↑
776.24 m
↓
↑
776.24 m
↓
S 50.555325°
W 26.301269°		 ← 776.15 m →
602 523 m²		 S 50.555325°
W 26.290283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426956176757812 y=0.663253784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426956176757812 × 215)
    floor (0.426956176757812 × 32768)
    floor (13990.5)     		tx = 13990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663253784179688 × 215)
    floor (0.663253784179688 × 32768)
    floor (21733.5)     		ty = 21733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13990 / 21733 ti = "15/13990/21733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13990/21733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13990 ÷ 215
    13990 ÷ 32768     		x = 0.42694091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21733 ÷ 215
    21733 ÷ 32768     		y = 0.663238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1461181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45904375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.32647705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02565790427072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45904375} λ = -0.45904375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02565790427072))-π/2
    2×atan(0.358560489312393)-π/2
    2×0.344280642009457-π/2
    0.688561284018913-1.57079632675     		φ = -0.88223504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45904375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.301269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88223504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.548344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13990 KachelY 21733 -0.45904375 -0.88223504 -26.301269 -50.548344
    Oben rechts KachelX + 1 13991 KachelY 21733 -0.45885200 -0.88223504 -26.290283 -50.548344
    Unten links KachelX 13990 KachelY + 1 21734 -0.45904375 -0.88235688 -26.301269 -50.555325
    Unten rechts KachelX + 1 13991 KachelY + 1 21734 -0.45885200 -0.88235688 -26.290283 -50.555325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88223504--0.88235688) × R
    0.00012184000000004 × 6371000     		dl = 776.242640000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88223504--0.88235688) × R
    0.00012184000000004 × 6371000     		dr = 776.242640000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45904375--0.45885200) × cos(-0.88223504) × R
    0.000191749999999991 × 0.635426921995931 × 6371000     		do = 776.26246841688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45904375--0.45885200) × cos(-0.88235688) × R
    0.000191749999999991 × 0.63533283718214 × 6371000     		du = 776.147530715524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88223504)-sin(-0.88235688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635426921995931-0.63533283718214)×R²
    abs(-0.45885200--0.45904375)×9.40848137909178e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40848137909178e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40848137909178e-05×40589641000000     		ar = 602523.418789513m²