Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13990 / 10920
↖ ↑ ↗
← N 51.344339°
W 26.301269°		 ← 763.08 m → N 51.344339°
W 26.290283°		 →
↑
763.12 m
↓
↑
763.12 m
↓
N 51.337476°
W 26.301269°		 ← 763.20 m →
582 366 m²		 N 51.337476°
W 26.290283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426956176757812 y=0.333267211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426956176757812 × 215)
    floor (0.426956176757812 × 32768)
    floor (13990.5)     		tx = 13990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333267211914062 × 215)
    floor (0.333267211914062 × 32768)
    floor (10920.5)     		ty = 10920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13990 / 10920 ti = "15/13990/10920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13990/10920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13990 ÷ 215
    13990 ÷ 32768     		x = 0.42694091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10920 ÷ 215
    10920 ÷ 32768     		y = 0.333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1461181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45904375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333251953125 × 2 - 1) × π
    0.33349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04770887809595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45904375} λ = -0.45904375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04770887809595))-π/2
    2×atan(2.85111138551539)-π/2
    2×1.23346204433133-π/2
    2.46692408866266-1.57079632675     		φ = 0.89612776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45904375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.301269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89612776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.344339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13990 KachelY 10920 -0.45904375 0.89612776 -26.301269 51.344339
    Oben rechts KachelX + 1 13991 KachelY 10920 -0.45885200 0.89612776 -26.290283 51.344339
    Unten links KachelX 13990 KachelY + 1 10921 -0.45904375 0.89600798 -26.301269 51.337476
    Unten rechts KachelX + 1 13991 KachelY + 1 10921 -0.45885200 0.89600798 -26.290283 51.337476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89612776-0.89600798) × R
    0.000119780000000014 × 6371000     		dl = 763.118380000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89612776-0.89600798) × R
    0.000119780000000014 × 6371000     		dr = 763.118380000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45904375--0.45885200) × cos(0.89612776) × R
    0.000191749999999991 × 0.624638530203526 × 6371000     		do = 763.082945558901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45904375--0.45885200) × cos(0.89600798) × R
    0.000191749999999991 × 0.624732063603693 × 6371000     		du = 763.19720963173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89612776)-sin(0.89600798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624638530203526-0.624732063603693)×R²
    abs(-0.45885200--0.45904375)×9.3533400166268e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3533400166268e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3533400166268e-05×40589641000000     		ar = 582366.220423912m²