Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13989 / 7275
↖ ↑ ↗
← N 70.218593°
W 26.312256°		 ← 413.44 m → N 70.218593°
W 26.301269°		 →
↑
413.48 m
↓
↑
413.48 m
↓
N 70.214875°
W 26.312256°		 ← 413.52 m →
170 965 m²		 N 70.214875°
W 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426925659179688 y=0.222030639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426925659179688 × 215)
    floor (0.426925659179688 × 32768)
    floor (13989.5)     		tx = 13989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222030639648438 × 215)
    floor (0.222030639648438 × 32768)
    floor (7275.5)     		ty = 7275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13989 / 7275 ti = "15/13989/7275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13989/7275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13989 ÷ 215
    13989 ÷ 32768     		x = 0.426910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7275 ÷ 215
    7275 ÷ 32768     		y = 0.222015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426910400390625 × 2 - 1) × π
    -0.14617919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45923550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222015380859375 × 2 - 1) × π
    0.55596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74662887455637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45923550} λ = -0.45923550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74662887455637))-π/2
    2×atan(5.73523585084634)-π/2
    2×1.39817098642094-π/2
    2.79634197284189-1.57079632675     		φ = 1.22554565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45923550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.312256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22554565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.218593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13989 KachelY 7275 -0.45923550 1.22554565 -26.312256 70.218593
    Oben rechts KachelX + 1 13990 KachelY 7275 -0.45904375 1.22554565 -26.301269 70.218593
    Unten links KachelX 13989 KachelY + 1 7276 -0.45923550 1.22548075 -26.312256 70.214875
    Unten rechts KachelX + 1 13990 KachelY + 1 7276 -0.45904375 1.22548075 -26.301269 70.214875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22554565-1.22548075) × R
    6.48999999999234e-05 × 6371000     		dl = 413.477899999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22554565-1.22548075) × R
    6.48999999999234e-05 × 6371000     		dr = 413.477899999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45923550--0.45904375) × cos(1.22554565) × R
    0.000191750000000046 × 0.33843257239759 × 6371000     		do = 413.442513919462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45923550--0.45904375) × cos(1.22548075) × R
    0.000191750000000046 × 0.338493641977666 × 6371000     		du = 413.517118915463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22554565)-sin(1.22548075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33843257239759-0.338493641977666)×R²
    abs(-0.45904375--0.45923550)×6.10695800755678e-05×R²
    0.000191750000000046×6.10695800755678e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.10695800755678e-05×40589641000000     		ar = 170964.766243894m²