Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13989 / 10922
↖ ↑ ↗
← N 51.330612°
W 26.312256°		 ← 763.31 m → N 51.330612°
W 26.301269°		 →
↑
763.37 m
↓
↑
763.37 m
↓
N 51.323746°
W 26.312256°		 ← 763.43 m →
582 735 m²		 N 51.323746°
W 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426925659179688 y=0.333328247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426925659179688 × 215)
    floor (0.426925659179688 × 32768)
    floor (13989.5)     		tx = 13989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333328247070312 × 215)
    floor (0.333328247070312 × 32768)
    floor (10922.5)     		ty = 10922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13989 / 10922 ti = "15/13989/10922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13989/10922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13989 ÷ 215
    13989 ÷ 32768     		x = 0.426910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10922 ÷ 215
    10922 ÷ 32768     		y = 0.33331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426910400390625 × 2 - 1) × π
    -0.14617919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45923550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33331298828125 × 2 - 1) × π
    0.3333740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04732538289899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45923550} λ = -0.45923550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04732538289899))-π/2
    2×atan(2.85001820762068)-π/2
    2×1.23334225345828-π/2
    2.46668450691655-1.57079632675     		φ = 0.89588818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45923550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.312256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89588818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.330612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13989 KachelY 10922 -0.45923550 0.89588818 -26.312256 51.330612
    Oben rechts KachelX + 1 13990 KachelY 10922 -0.45904375 0.89588818 -26.301269 51.330612
    Unten links KachelX 13989 KachelY + 1 10923 -0.45923550 0.89576836 -26.312256 51.323746
    Unten rechts KachelX + 1 13990 KachelY + 1 10923 -0.45904375 0.89576836 -26.301269 51.323746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89588818-0.89576836) × R
    0.000119819999999993 × 6371000     		dl = 763.373219999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89588818-0.89576836) × R
    0.000119819999999993 × 6371000     		dr = 763.373219999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45923550--0.45904375) × cos(0.89588818) × R
    0.000191750000000046 × 0.62482560365596 × 6371000     		do = 763.311481831247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45923550--0.45904375) × cos(0.89576836) × R
    0.000191750000000046 × 0.624919150354495 × 6371000     		du = 763.425762149885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89588818)-sin(0.89576836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62482560365596-0.624919150354495)×R²
    abs(-0.45904375--0.45923550)×9.35466985347855e-05×R²
    0.000191750000000046×9.35466985347855e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.35466985347855e-05×40589641000000     		ar = 582735.163713362m²