Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13989 / 10915
↖ ↑ ↗
← N 51.378638°
W 26.312256°		 ← 762.51 m → N 51.378638°
W 26.301269°		 →
↑
762.54 m
↓
↑
762.54 m
↓
N 51.371780°
W 26.312256°		 ← 762.63 m →
581 493 m²		 N 51.371780°
W 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426925659179688 y=0.333114624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426925659179688 × 215)
    floor (0.426925659179688 × 32768)
    floor (13989.5)     		tx = 13989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333114624023438 × 215)
    floor (0.333114624023438 × 32768)
    floor (10915.5)     		ty = 10915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13989 / 10915 ti = "15/13989/10915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13989/10915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13989 ÷ 215
    13989 ÷ 32768     		x = 0.426910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10915 ÷ 215
    10915 ÷ 32768     		y = 0.333099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426910400390625 × 2 - 1) × π
    -0.14617919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45923550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333099365234375 × 2 - 1) × π
    0.33380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04866761608835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45923550} λ = -0.45923550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04866761608835))-π/2
    2×atan(2.85384616508031)-π/2
    2×1.23376136459464-π/2
    2.46752272918928-1.57079632675     		φ = 0.89672640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45923550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.312256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89672640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.378638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13989 KachelY 10915 -0.45923550 0.89672640 -26.312256 51.378638
    Oben rechts KachelX + 1 13990 KachelY 10915 -0.45904375 0.89672640 -26.301269 51.378638
    Unten links KachelX 13989 KachelY + 1 10916 -0.45923550 0.89660671 -26.312256 51.371780
    Unten rechts KachelX + 1 13990 KachelY + 1 10916 -0.45904375 0.89660671 -26.301269 51.371780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89672640-0.89660671) × R
    0.000119690000000006 × 6371000     		dl = 762.544990000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89672640-0.89660671) × R
    0.000119690000000006 × 6371000     		dr = 762.544990000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45923550--0.45904375) × cos(0.89672640) × R
    0.000191750000000046 × 0.624170931936729 × 6371000     		do = 762.51170916317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45923550--0.45904375) × cos(0.89660671) × R
    0.000191750000000046 × 0.624264439804078 × 6371000     		du = 762.625942044107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89672640)-sin(0.89660671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624170931936729-0.624264439804078)×R²
    abs(-0.45904375--0.45923550)×9.3507867348408e-05×R²
    0.000191750000000046×9.3507867348408e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.3507867348408e-05×40589641000000     		ar = 581493.03818817m²