Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13986 / 7270
↖ ↑ ↗
← N 70.237176°
W 26.345215°		 ← 413.07 m → N 70.237176°
W 26.334228°		 →
↑
413.10 m
↓
↑
413.10 m
↓
N 70.233460°
W 26.345215°		 ← 413.14 m →
170 653 m²		 N 70.233460°
W 26.334228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426834106445312 y=0.221878051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426834106445312 × 215)
    floor (0.426834106445312 × 32768)
    floor (13986.5)     		tx = 13986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221878051757812 × 215)
    floor (0.221878051757812 × 32768)
    floor (7270.5)     		ty = 7270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13986 / 7270 ti = "15/13986/7270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13986/7270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13986 ÷ 215
    13986 ÷ 32768     		x = 0.42681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7270 ÷ 215
    7270 ÷ 32768     		y = 0.22186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45981074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22186279296875 × 2 - 1) × π
    0.5562744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74758761254877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45981074} λ = -0.45981074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74758761254877))-π/2
    2×atan(5.74073707604734)-π/2
    2×1.39833314734356-π/2
    2.79666629468713-1.57079632675     		φ = 1.22586997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45981074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22586997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.237176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13986 KachelY 7270 -0.45981074 1.22586997 -26.345215 70.237176
    Oben rechts KachelX + 1 13987 KachelY 7270 -0.45961899 1.22586997 -26.334228 70.237176
    Unten links KachelX 13986 KachelY + 1 7271 -0.45981074 1.22580513 -26.345215 70.233460
    Unten rechts KachelX + 1 13987 KachelY + 1 7271 -0.45961899 1.22580513 -26.334228 70.233460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22586997-1.22580513) × R
    6.4840000000066e-05 × 6371000     		dl = 413.09564000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22586997-1.22580513) × R
    6.4840000000066e-05 × 6371000     		dr = 413.09564000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45981074--0.45961899) × cos(1.22586997) × R
    0.000191749999999991 × 0.338127372518205 × 6371000     		do = 413.06966976759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45981074--0.45961899) × cos(1.22580513) × R
    0.000191749999999991 × 0.33818839275446 × 6371000     		du = 413.144214483243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22586997)-sin(1.22580513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338127372518205-0.33818839275446)×R²
    abs(-0.45961899--0.45981074)×6.10202362547052e-05×R²
    0.000191749999999991×6.10202362547052e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.10202362547052e-05×40589641000000     		ar = 170652.67670555m²