Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13986 / 21730
↖ ↑ ↗
← S 50.527397°
W 26.345215°		 ← 776.61 m → S 50.527397°
W 26.334228°		 →
↑
776.50 m
↓
↑
776.50 m
↓
S 50.534380°
W 26.345215°		 ← 776.49 m →
602 989 m²		 S 50.534380°
W 26.334228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426834106445312 y=0.663162231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426834106445312 × 215)
    floor (0.426834106445312 × 32768)
    floor (13986.5)     		tx = 13986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663162231445312 × 215)
    floor (0.663162231445312 × 32768)
    floor (21730.5)     		ty = 21730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13986 / 21730 ti = "15/13986/21730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13986/21730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13986 ÷ 215
    13986 ÷ 32768     		x = 0.42681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21730 ÷ 215
    21730 ÷ 32768     		y = 0.66314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45981074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.3262939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02508266147528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45981074} λ = -0.45981074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02508266147528))-π/2
    2×atan(0.358766807986576)-π/2
    2×0.344463444979934-π/2
    0.688926889959869-1.57079632675     		φ = -0.88186944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45981074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88186944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.527397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13986 KachelY 21730 -0.45981074 -0.88186944 -26.345215 -50.527397
    Oben rechts KachelX + 1 13987 KachelY 21730 -0.45961899 -0.88186944 -26.334228 -50.527397
    Unten links KachelX 13986 KachelY + 1 21731 -0.45981074 -0.88199132 -26.345215 -50.534380
    Unten rechts KachelX + 1 13987 KachelY + 1 21731 -0.45961899 -0.88199132 -26.334228 -50.534380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88186944--0.88199132) × R
    0.000121880000000019 × 6371000     		dl = 776.497480000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88186944--0.88199132) × R
    0.000121880000000019 × 6371000     		dr = 776.497480000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45981074--0.45961899) × cos(-0.88186944) × R
    0.000191749999999991 × 0.635709181588591 × 6371000     		do = 776.607287813961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45981074--0.45961899) × cos(-0.88199132) × R
    0.000191749999999991 × 0.635615094203651 × 6371000     		du = 776.49234697159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88186944)-sin(-0.88199132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635709181588591-0.635615094203651)×R²
    abs(-0.45961899--0.45981074)×9.40873849393231e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40873849393231e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40873849393231e-05×40589641000000     		ar = 602988.977046282m²