Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13985 / 4769
↖ ↑ ↗
← N 77.690529°
W 26.356201°		 ← 260.44 m → N 77.690529°
W 26.345215°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
N 77.688186°
W 26.356201°		 ← 260.49 m →
67 855 m²		 N 77.688186°
W 26.345215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426803588867188 y=0.145553588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426803588867188 × 215)
    floor (0.426803588867188 × 32768)
    floor (13985.5)     		tx = 13985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145553588867188 × 215)
    floor (0.145553588867188 × 32768)
    floor (4769.5)     		ty = 4769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13985 / 4769 ti = "15/13985/4769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13985/4769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13985 ÷ 215
    13985 ÷ 32768     		x = 0.426788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4769 ÷ 215
    4769 ÷ 32768     		y = 0.145538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.14642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46000249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145538330078125 × 2 - 1) × π
    0.70892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22714835634781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46000249} λ = -0.46000249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22714835634781))-π/2
    2×atan(9.27338395215272)-π/2
    2×1.46337592213546-π/2
    2.92675184427092-1.57079632675     		φ = 1.35595552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46000249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.356201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35595552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.690529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13985 KachelY 4769 -0.46000249 1.35595552 -26.356201 77.690529
    Oben rechts KachelX + 1 13986 KachelY 4769 -0.45981074 1.35595552 -26.345215 77.690529
    Unten links KachelX 13985 KachelY + 1 4770 -0.46000249 1.35591463 -26.356201 77.688186
    Unten rechts KachelX + 1 13986 KachelY + 1 4770 -0.45981074 1.35591463 -26.345215 77.688186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35595552-1.35591463) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dl = 260.510189999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35595552-1.35591463) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dr = 260.510189999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46000249--0.45981074) × cos(1.35595552) × R
    0.000191749999999991 × 0.213191897594559 × 6371000     		do = 260.443589883481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46000249--0.45981074) × cos(1.35591463) × R
    0.000191749999999991 × 0.213231847369339 × 6371000     		du = 260.492394096381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35595552)-sin(1.35591463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213191897594559-0.213231847369339)×R²
    abs(-0.45981074--0.46000249)×3.9949774780057e-05×R²
    0.000191749999999991×3.9949774780057e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.9949774780057e-05×40589641000000     		ar = 67854.566091121m²