Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13983 / 10891
↖ ↑ ↗
← N 51.542919°
W 26.378174°		 ← 759.73 m → N 51.542919°
W 26.367188°		 →
↑
759.81 m
↓
↑
759.81 m
↓
N 51.536086°
W 26.378174°		 ← 759.85 m →
577 292 m²		 N 51.536086°
W 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426742553710938 y=0.332382202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426742553710938 × 215)
    floor (0.426742553710938 × 32768)
    floor (13983.5)     		tx = 13983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332382202148438 × 215)
    floor (0.332382202148438 × 32768)
    floor (10891.5)     		ty = 10891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13983 / 10891 ti = "15/13983/10891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13983/10891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13983 ÷ 215
    13983 ÷ 32768     		x = 0.426727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10891 ÷ 215
    10891 ÷ 32768     		y = 0.332366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.14654541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46038598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332366943359375 × 2 - 1) × π
    0.33526611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05326955845187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46038598} λ = -0.46038598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05326955845187))-π/2
    2×atan(2.86700966625198)-π/2
    2×1.23519498315738-π/2
    2.47038996631476-1.57079632675     		φ = 0.89959364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46038598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.378174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89959364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.542919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13983 KachelY 10891 -0.46038598 0.89959364 -26.378174 51.542919
    Oben rechts KachelX + 1 13984 KachelY 10891 -0.46019424 0.89959364 -26.367188 51.542919
    Unten links KachelX 13983 KachelY + 1 10892 -0.46038598 0.89947438 -26.378174 51.536086
    Unten rechts KachelX + 1 13984 KachelY + 1 10892 -0.46019424 0.89947438 -26.367188 51.536086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89959364-0.89947438) × R
    0.000119259999999954 × 6371000     		dl = 759.805459999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89959364-0.89947438) × R
    0.000119259999999954 × 6371000     		dr = 759.805459999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46038598--0.46019424) × cos(0.89959364) × R
    0.000191739999999996 × 0.621928229662156 × 6371000     		do = 759.732312990776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46038598--0.46019424) × cos(0.89947438) × R
    0.000191739999999996 × 0.622021614673869 × 6371000     		du = 759.846389836887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89959364)-sin(0.89947438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621928229662156-0.622021614673869)×R²
    abs(-0.46019424--0.46038598)×9.33850117129653e-05×R²
    0.000191739999999996×9.33850117129653e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.33850117129653e-05×40589641000000     		ar = 577292.098337285m²