Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13980 / 18791
↖ ↑ ↗
← N 60.654340°
W103.205566°		 ← 299.33 m → N 60.654340°
W103.200073°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
N 60.651647°
W103.205566°		 ← 299.36 m →
89 616 m²		 N 60.651647°
W103.200073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213325500488281 y=0.286735534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213325500488281 × 216)
    floor (0.213325500488281 × 65536)
    floor (13980.5)     		tx = 13980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286735534667969 × 216)
    floor (0.286735534667969 × 65536)
    floor (18791.5)     		ty = 18791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13980 / 18791 ti = "16/13980/18791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13980/18791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13980 ÷ 216
    13980 ÷ 65536     		x = 0.21331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18791 ÷ 216
    18791 ÷ 65536     		y = 0.286727905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.5733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80127694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286727905273438 × 2 - 1) × π
    0.426544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.34002809197905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80127694} λ = -1.80127694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34002809197905))-π/2
    2×atan(3.81915079136341)-π/2
    2×1.31470712880061-π/2
    2.62941425760121-1.57079632675     		φ = 1.05861793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80127694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.205566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05861793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.654340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13980 KachelY 18791 -1.80127694 1.05861793 -103.205566 60.654340
    Oben rechts KachelX + 1 13981 KachelY 18791 -1.80118107 1.05861793 -103.200073 60.654340
    Unten links KachelX 13980 KachelY + 1 18792 -1.80127694 1.05857094 -103.205566 60.651647
    Unten rechts KachelX + 1 13981 KachelY + 1 18792 -1.80118107 1.05857094 -103.200073 60.651647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05861793-1.05857094) × R
    4.6989999999969e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05861793-1.05857094) × R
    4.6989999999969e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80127694--1.80118107) × cos(1.05861793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.490077270916706 × 6371000     		do = 299.333203430894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80127694--1.80118107) × cos(1.05857094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.490118230571558 × 6371000     		du = 299.358221087141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05861793)-sin(1.05857094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490077270916706-0.490118230571558)×R²
    abs(-1.80118107--1.80127694)×4.09596548515689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09596548515689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09596548515689e-05×40589641000000     		ar = 89616.1107428234m²