Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13979 / 18793
↖ ↑ ↗
← N 60.648955°
W103.211059°		 ← 299.38 m → N 60.648955°
W103.205566°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
N 60.646263°
W103.211059°		 ← 299.41 m →
89 631 m²		 N 60.646263°
W103.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213310241699219 y=0.286766052246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213310241699219 × 216)
    floor (0.213310241699219 × 65536)
    floor (13979.5)     		tx = 13979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286766052246094 × 216)
    floor (0.286766052246094 × 65536)
    floor (18793.5)     		ty = 18793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13979 / 18793 ti = "16/13979/18793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13979/18793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13979 ÷ 216
    13979 ÷ 65536     		x = 0.213302612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18793 ÷ 216
    18793 ÷ 65536     		y = 0.286758422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213302612304688 × 2 - 1) × π
    -0.573394775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80137281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286758422851562 × 2 - 1) × π
    0.426483154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33983634438057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80137281} λ = -1.80137281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33983634438057))-π/2
    2×atan(3.81841854857607)-π/2
    2×1.314660139304-π/2
    2.629320278608-1.57079632675     		φ = 1.05852395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80137281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.211059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05852395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.648955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13979 KachelY 18793 -1.80137281 1.05852395 -103.211059 60.648955
    Oben rechts KachelX + 1 13980 KachelY 18793 -1.80127694 1.05852395 -103.205566 60.648955
    Unten links KachelX 13979 KachelY + 1 18794 -1.80137281 1.05847696 -103.211059 60.646263
    Unten rechts KachelX + 1 13980 KachelY + 1 18794 -1.80127694 1.05847696 -103.205566 60.646263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05852395-1.05847696) × R
    4.6990000000191e-05 × 6371000     		dl = 299.373290001217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05852395-1.05847696) × R
    4.6990000000191e-05 × 6371000     		dr = 299.373290001217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80137281--1.80127694) × cos(1.05852395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.490159189144199 × 6371000     		do = 299.383238082387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80137281--1.80127694) × cos(1.05847696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.490200146634539 × 6371000     		du = 299.408254416577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05852395)-sin(1.05847696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490159189144199-0.490200146634539)×R²
    abs(-1.80127694--1.80137281)×4.09574903402765e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09574903402765e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09574903402765e-05×40589641000000     		ar = 89631.0895836411m²