Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13977 / 18792
↖ ↑ ↗
← N 60.651647°
W103.222046°		 ← 299.36 m → N 60.651647°
W103.216553°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
N 60.648955°
W103.222046°		 ← 299.38 m →
89 624 m²		 N 60.648955°
W103.216553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213279724121094 y=0.286750793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213279724121094 × 216)
    floor (0.213279724121094 × 65536)
    floor (13977.5)     		tx = 13977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286750793457031 × 216)
    floor (0.286750793457031 × 65536)
    floor (18792.5)     		ty = 18792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13977 / 18792 ti = "16/13977/18792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13977/18792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13977 ÷ 216
    13977 ÷ 65536     		x = 0.213272094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18792 ÷ 216
    18792 ÷ 65536     		y = 0.2867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213272094726562 × 2 - 1) × π
    -0.573455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80156456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2867431640625 × 2 - 1) × π
    0.426513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33993221817981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80156456} λ = -1.80156456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33993221817981))-π/2
    2×atan(3.81878465241902)-π/2
    2×1.31468363503402-π/2
    2.62936727006804-1.57079632675     		φ = 1.05857094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80156456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.222046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05857094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.651647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13977 KachelY 18792 -1.80156456 1.05857094 -103.222046 60.651647
    Oben rechts KachelX + 1 13978 KachelY 18792 -1.80146869 1.05857094 -103.216553 60.651647
    Unten links KachelX 13977 KachelY + 1 18793 -1.80156456 1.05852395 -103.222046 60.648955
    Unten rechts KachelX + 1 13978 KachelY + 1 18793 -1.80146869 1.05852395 -103.216553 60.648955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05857094-1.05852395) × R
    4.6989999999969e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05857094-1.05852395) × R
    4.6989999999969e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80156456--1.80146869) × cos(1.05857094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.490118230571558 × 6371000     		do = 299.358221087141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80156456--1.80146869) × cos(1.05852395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.490159189144199 × 6371000     		du = 299.383238082387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05857094)-sin(1.05852395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490118230571558-0.490159189144199)×R²
    abs(-1.80146869--1.80156456)×4.0958572641081e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0958572641081e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0958572641081e-05×40589641000000     		ar = 89623.6002619498m²