Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13975 / 3879
↖ ↑ ↗
← N 79.610196°
W 26.466064°		 ← 220.30 m → N 79.610196°
W 26.455078°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
N 79.608215°
W 26.466064°		 ← 220.35 m →
48 540 m²		 N 79.608215°
W 26.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426498413085938 y=0.118392944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426498413085938 × 215)
    floor (0.426498413085938 × 32768)
    floor (13975.5)     		tx = 13975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118392944335938 × 215)
    floor (0.118392944335938 × 32768)
    floor (3879.5)     		ty = 3879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13975 / 3879 ti = "15/13975/3879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13975/3879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13975 ÷ 215
    13975 ÷ 32768     		x = 0.426483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3879 ÷ 215
    3879 ÷ 32768     		y = 0.118377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.14703369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46191996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118377685546875 × 2 - 1) × π
    0.76324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39780371899521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46191996} λ = -0.46191996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39780371899521))-π/2
    2×atan(10.9989929542654)-π/2
    2×1.48012818437135-π/2
    2.9602563687427-1.57079632675     		φ = 1.38946004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46191996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.466064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38946004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.610196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13975 KachelY 3879 -0.46191996 1.38946004 -26.466064 79.610196
    Oben rechts KachelX + 1 13976 KachelY 3879 -0.46172822 1.38946004 -26.455078 79.610196
    Unten links KachelX 13975 KachelY + 1 3880 -0.46191996 1.38942546 -26.466064 79.608215
    Unten rechts KachelX + 1 13976 KachelY + 1 3880 -0.46172822 1.38942546 -26.455078 79.608215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38946004-1.38942546) × R
    3.45799999998953e-05 × 6371000     		dl = 220.309179999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38946004-1.38942546) × R
    3.45799999998953e-05 × 6371000     		dr = 220.309179999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46191996--0.46172822) × cos(1.38946004) × R
    0.000191739999999996 × 0.180344110526307 × 6371000     		do = 220.303954201988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46191996--0.46172822) × cos(1.38942546) × R
    0.000191739999999996 × 0.180378123430257 × 6371000     		du = 220.345503533498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38946004)-sin(1.38942546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180344110526307-0.180378123430257)×R²
    abs(-0.46172822--0.46191996)×3.40129039499981e-05×R²
    0.000191739999999996×3.40129039499981e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.40129039499981e-05×40589641000000     		ar = 48539.5603545968m²