Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13974 / 10901
↖ ↑ ↗
← N 51.474540°
W 26.477051°		 ← 760.91 m → N 51.474540°
W 26.466064°		 →
↑
760.95 m
↓
↑
760.95 m
↓
N 51.467697°
W 26.477051°		 ← 761.03 m →
579 062 m²		 N 51.467697°
W 26.466064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426467895507812 y=0.332687377929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426467895507812 × 215)
    floor (0.426467895507812 × 32768)
    floor (13974.5)     		tx = 13974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332687377929688 × 215)
    floor (0.332687377929688 × 32768)
    floor (10901.5)     		ty = 10901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13974 / 10901 ti = "15/13974/10901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13974/10901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13974 ÷ 215
    13974 ÷ 32768     		x = 0.42645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10901 ÷ 215
    10901 ÷ 32768     		y = 0.332672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332672119140625 × 2 - 1) × π
    0.33465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05135208246707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46211171} λ = -0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05135208246707))-π/2
    2×atan(2.86151751128913)-π/2
    2×1.23459826919751-π/2
    2.46919653839502-1.57079632675     		φ = 0.89840021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89840021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.474540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13974 KachelY 10901 -0.46211171 0.89840021 -26.477051 51.474540
    Oben rechts KachelX + 1 13975 KachelY 10901 -0.46191996 0.89840021 -26.466064 51.474540
    Unten links KachelX 13974 KachelY + 1 10902 -0.46211171 0.89828077 -26.477051 51.467697
    Unten rechts KachelX + 1 13975 KachelY + 1 10902 -0.46191996 0.89828077 -26.466064 51.467697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89840021-0.89828077) × R
    0.000119440000000082 × 6371000     		dl = 760.952240000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89840021-0.89828077) × R
    0.000119440000000082 × 6371000     		dr = 760.952240000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46211171--0.46191996) × cos(0.89840021) × R
    0.000191749999999991 × 0.622862330841134 × 6371000     		do = 760.913070701978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46211171--0.46191996) × cos(0.89828077) × R
    0.000191749999999991 × 0.622955768067913 × 6371000     		du = 761.027217285621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89840021)-sin(0.89828077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622862330841134-0.622955768067913)×R²
    abs(-0.46191996--0.46211171)×9.34372267784589e-05×R²
    0.000191749999999991×9.34372267784589e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.34372267784589e-05×40589641000000     		ar = 579061.93633422m²